看起来有点难。但是我想了下。
两个都挨不着的线证垂直。用向量应该没问题。

可以作H在BC上的投影I，和在AB上的投影K，D, F, I, K都在△ABC的九点圆上，圆心是OH的中点
∠HKP=∠HDP=90°，所以H, D, P, K共圆，圆心是HP的中点，它和九点圆圆心的连线垂直于两圆的公共弦DK，同时作为△HPO的中位线平行于PO，所以PO⊥DK
而∠CKB=90°，所以DK=BC/2=DB，∠DKB=∠ABC，则∠FPO=90°-∠ABC
∠HFQ=∠HIQ=90°，所以H, F, Q, I共圆，∠HQF=∠HIF=90°-∠ABC
∠HQF和∠FPO相等，所以Rt△QHF和Rt△POF相似，QF/PF = HF/OF
则 QF/HF = PF/OF，又因为∠QFP和∠HFO的余角都是∠PFH，它们也相等
所以△QFP∽△HFO，从QF⊥HF就能得到PQ⊥OH