为了计算达到大元帅所需的平均晋升次数，我们可以使用期望值的方法来分析这个过程。
每次晋升的初始成功率是20%，即0.2。如果失败一次，成功率增加10%，即0.1。
我们定义成功率为 ( p )，初始成功率是 ( p = 0.2 )。每失败一次，成功率增加 ( 0.1 )。
期望值计算对于每次晋升尝试，成功的概率和失败的概率会随着失败次数的增加而变化。我们可以构建一个期望值公式来表示从某个成功率开始直到成功所需的平均尝试次数。
假设当前的成功率是 ( p )，则：
成功的概率为 ( p )失败的概率为 ( 1 - p )如果晋升成功，所需的尝试次数就是 1。如果晋升失败，则需要经历一次失败，并且接下来在新的成功率下再进行尝试。新的成功率是 ( p + 0.1 )。
因此，从当前成功率 ( p ) 开始晋升所需的期望尝试次数 ( E(p) ) 可以用以下递归公式表示：
[lbk] E(p) = p \cdot 1 + (1 - p) \cdot (1 + E(p + 0.1)) [rbk]
解读此公式：
( p \cdot 1 ) 表示在当前成功率下成功的期望次数。( (1 - p) \cdot (1 + E(p + 0.1)) ) 表示失败一次后，在新的成功率下进行尝试所需的期望次数。现在我们可以逐步计算从初始成功率 ( 0.2 ) 开始的期望尝试次数。由于成功率最多提升到 ( 1.0 )，我们可以列出所有必要的期望值，然后求和。
计算期望值( E(1.0) = 1 ) （因为成功率为100%时，必定成功）( E(0.9) = 1 \cdot 0.9 + (1 - 0.9) \cdot (1 + E(1.0)) = 0.9 + 0.1 \cdot 2 = 0.9 + 0.2 = 1.1 )( E(0.8) = 0.8 + 0.2 \cdot (1 + 1.1) = 0.8 + 0.2 \cdot 2.1 = 0.8 + 0.42 = 1.22 )( E(0.7) = 0.7 + 0.3 \cdot (1 + 1.22) = 0.7 + 0.3 \cdot 2.22 = 0.7 + 0.666 = 1.366 )( E(0.6) = 0.6 + 0.4 \cdot (1 + 1.366) = 0.6 + 0.4 \cdot 2.366 = 0.6 + 0.9464 = 1.5464 )( E(0.5) = 0.5 + 0.5 \cdot (1 + 1.5464) = 0.5 + 0.5 \cdot 2.5464 = 0.5 + 1.2732 = 1.7732 )( E(0.4) = 0.4 + 0.6 \cdot (1 + 1.7732) = 0.4 + 0.6 \cdot 2.7732 = 0.4 + 1.66392 = 2.06392 )( E(0.3) = 0.3 + 0.7 \cdot (1 + 2.06392) = 0.3 + 0.7 \cdot 3.06392 = 0.3 + 2.144744 = 2.444744 )( E(0.2) = 0.2 + 0.8 \cdot (1 + 2.444744) = 0.2 + 0.8 \cdot 3.444744 = 0.2 + 2.7557952 = 2.9557952 )总期望次数因为要晋升10次，每次都独立进行，所以总期望次数是10倍的单次期望：
[lbk] 10 \times E(0.2) = 10 \times 2.9557952 = 29.557952 [rbk]
因此，大元帅总计需要从元帅晋升成功10次，平均需要约 29.56 次尝试。