我觉得求和公式这种引申方式过于“侥幸”，不如下面这个：
设一个平方可积对函数f(x)，即：

进行西格玛操作：

对f进行周期为T的Fourier展开，即：

然后代回去：

交换一下：

注意到上式第二行因子是：

因为n从-∞取到+∞，所以最后合并的积分区间也是从-∞到+∞，也就是说其实是：

这个积分等同对f做Fourier变换，倘若定义f(t)的Fourier变换为 f（ζ），则原积分等于：

把等式右侧代入前面的求和式子，得到：

原先的等式左侧和得到的等式右侧放在一起，自然得出：

令T=1，t=0，则得到：

（证完）
吐槽：这不比冯书上的证明自然么？

这种证法避开了“周期数”的纠结 @artintin