版本3，又是稍有不同的说法

@告不告诉你 @蔸蔸白 同一个东西有不同的描述语言，我处于一种茫然的混沌状态，就是无法判断某个设想对还是不对，我只好第一时间来将我的思路写出来问，

后两种应该是推广，我也没有学过

先将版本1贴出来说
Hensel 引理：f(x) 是一个整系数多项式 (f(x)∈Z(x))，对于素数 p，整数 a 使得 p^k∣f(a)，(f′(a)，p)=1，即 f(a)≡0mod p^k，f′(a)≠0mod p 。则在模 p 意义下恰有一个整数 t 使得 f(a+tp^k)≡0(mod p^k+1) 。也就是在模 p^k+1 的意义下有唯一一个解 b≡a(mod p^k)。

版本1就是版本3中赋值域取K＝Q_p，O_K＝Z_p的情况。版本3其实就是完备非阿基米德赋值域中的牛顿迭代法，和实数域和复数域（这两个是关于一个阿基米德赋值完备）中经典分析学中的牛顿迭代法是同理的。