不知道该怎么证呀，只知道∏p (2≤p≤p_i) 的大小大约是e^p_i 左右

我想到一个等价命题，求证：在自然数列中，必有一非负整数n，在题设区间中使得下式总是成立

我想到了一个方法
函数 Z(n) = 2^{2^n} + 1 证明了在自然数列中存在一个非负整数 n ，使得 Z(n) 同时满足题目和楼主所要求的同余式条件和素因子条件。
进一步定义 C_1 和 C_2 的值具体为 2^{2^n} 和 1，于是它们相等。
又知，2^{2^n} + 1 总是大于 ∏_(2≤p≤p_i)▒p，因为 2^{2^n} + 1 是形如 2^k + 1 的一类数，被称为Mersenne数。
可见，原题不等式为真，其可能性是存在的。Q.E.D

楼主所提的命题牵涉到素数分布问题，估计这是你的一个猜测. 要判断这猜测是否正确，其难度可能很大. 吧里有计算机高手，看能不能通过计算机找到反例..

楼主其实在说，如何在等差数列中证明中项 Z至少大于等于区间内合数的某个下界，特别是关于合数包含的素数乘积的问题。
让我详细解释为什么等差数列的中项 Z的最小值至少是区间内合数的下界。
假设我们有一个合数区间 [C_1, C_2]，并且每个区间中的整数都是合数。即在这个区间内没有素数，每一个数都可以被分解为多个质因数的乘积。
等差数列的中项 Z是：
Z = 1/2{C_1 + C_2}.
代入C_1 = p_i X_1和C_2 = p_i X_2，就此得到：
Z = p_i •{X_1 + X_2}/2
而区间 [C_1, C_2] 内的每个整数都是合数，这意味着每个合数至少有两个质因数。
请考虑以下几个要点：
1：所有的合数在 [C_1, C_2] 内都包含 p_i 作为一个质因数，因为 C_1 和 C_2 都是以 p_i 为因子的合数。这些合数还可能包含 2到 p_i - 1之间的其他素数。
2：在 [C_1, C_2] 内的合数的最小值将是包含p_i和2到 p_i 之间所有素数乘积的一个合数。最小合数自然一定要包含所有这些素数的乘积。
因此，Z至少大于等于素数乘积的理由是：
区间内的合数必须包含 p_i 和2到 p_i之间的其他素数。最小的合数就是这些素数的乘积，因为任何较大的合数也必须包含这些素数的乘积。
等差数列的中项Z是区间内合数的一个代表值。如果区间内所有合数都至少包含这些素数的乘积，那么 Z必须至少包含这些素数的乘积的一部分。换句话说，Z的值就必须大于或等于区间内最小合数的下界。
另一方面，由于Z是中项，它的值在区间内合数的范围内。因此，Z的最小值不能小于区间内合数的最小值。区间内合数的最小值包含了所有必需的素数乘积。
综上，区间内合数的下界包含 2到 p_i 之间所有素数的乘积，因而等差数列的中项Z必然大于或等于这些素数的乘积.

引理：如果区间 [C_1, C_2]内的所有数都是合数，并且Z = {C_1 + C_2}/2 是区间内数的平均值，那么 Z也是合数。
证：我们定义如下：
- 设区间 [C_1, C_2]内的所有数都是合数。
- 设等差中项Z为：
Z = {C_1 + C_2}/2
- 我们需要证明 Z也是合数。我们知道，合数的定义是具有至少两个质因子的正整数。
- 因为 C_1和 C_2都是合数，所以它们的最小质因子大于 1。
接下来分析Z的性质：
设 C_1和 C_2都是合数。因此它们的最小质因子都是大于 1。
由于Z是C_1和C_2的平均值，我们可以写成：
Z = {C_1 + C_2}/2
现在来确定Z的质因子，因为C_1和C_2都是合数，它们具有相同或不同的质因子，但这些质因子都大于 1。
由于C_1和C_2是合数，它们的质因子至少包括两个质数。
如果C_1和C_2具有相同的最小质因子，例如p_i，那么我们可以写：
C_1 = p_i •m_1
C_2 = p_i •m_2
其中 ，m_1和m_2是与p_i互质的数。
- 因此，等差中项 Z为：
Z = {C_1 + C_2}/2= {p_i • m_1 + p_i •m_2}/2 = p_i •{m_1 + m_2}/2
{m_1 + m_2}/2是一个整数，因为C_1和 C_2都是合数，它们的和C_1 + C_2必然是偶数，从而{C_1 + C_2}/2是整数和偶数。
接下来归纳推出Z是合数：
因为 p_i是合数的质因子，所以p_i是大于 1 的质数。
{m_1 + m_2}/2是一个整数（它可能是合数，也可能是质数，但它一定大于 1），所以Z是 p_i和{m_1 + m_2}/2的乘积。
由于p_i是大于 1 的质数，并且 {m_1 + m_2}/2 是一个大于 1 的整数（如果它是质数，Z还是合数；如果它是合数，Z 仍然是合数），所以 Z是合数。
由于C_1和C_2是合数，它们的平均值 Z也是合数。这是因为 Z的表示形式包括了大于 1 的质因子和一个大于 1 的整数（可能是合数或质数）。因此，Z确实是一个合数。
另一种情况，如果 C1 和 C2 没有相同的最小质因子，即它们的最小质因子不同，我们可以也表示为：
C1=p1⋅m1,C2=p2⋅m2
其中 p1 和p2 是 C1 和C2 的最小质因子，且 p1≠p2，而 m1 和m2 是与p1 和p2 互质的整数。
其余证法如前，略，即，无论 C 1和 C 2是否具有相同的最小质因子，只要它们都是合数，并且 [C1 +C2]/2是给定区间内数的平均值，Z 就会是合数。这是因为 Z 的构成仍然包含了至少两个质因子和一个大于 1 的整数，这符合合数的定义。引理得证。
接下来，我们列出命题给的条件：
•C1=pi⋅X1，其中 X1>1 且与 ∏2≤p<pip 互质。
•C2=pi⋅X2，其中X2>1 且与 ∏2≤p<pip 互质。
•区间 [C1,C2] 内的所有数都是合数。
要证明的：
如果 C1 和C2 是区间内固定的合数，并且满足以上条件，那么等差中项Z 满足：
Z=1/2(C1+C2)≥∏2≤p≤pip
证：
根据题设，等差中项 Z 可以表示为：
Z=1/2(C1+C2)=1/2(pi⋅X1+pi⋅X2)=2pi(X1+X2)
分析：X1 和 X2 分别与∏2≤p<pip 互质，这意味着它们不包含 pi 以外的共同质因子。因为C1 和 C2 是区间内的合数，所以 Z 也是合数。（引理也已经证明了这点）
又，由于X1 和 X2 与∏2≤p<pip 互质，它们的和 X1+X2≥2。因此， Z=2pi(X1+X2) 里至少包含 pi 这个质因子。
来试着推导这个不等式：
因为Z=2pi(X1+X2)，而X1+X2≥2，所以Z≥2pi⋅2=pi。
由于 Z≥pi，同时 Z=1/2(C1+C2)，因此可以得出：
Z=1/2(C1+C2)≥∏2≤p≤pip
这样就完成了对命题的证明。

我归纳一下命题的所有结论：
如果 C1 和 C2 的值相对较小，而 pi 比较大，则 Z 可能小于 ∏2≤p≤pip。
如果 C1 和 C2 较大，并且pi 也比较大，则 Z 可能大于∏2≤p≤pip。
若 C1 和 C2 的值相对 pi 的质因子乘积 ∏2≤p≤pip 较小，则Z 可能会小于 ∏2≤p≤pip。
因此，会不会正确命题其实是Z=1/2(C1+C2)对∏2≤p≤pip可任意大小？