空矩阵,或由(0)打头,且可被展开,项都是非负整数,且可在有限次有限项展开之内回到小于(0)(1)的表达式,且列自上而下不严格单调递减的矩阵是合法矩阵。
合法矩阵的行和列都是有限长的。
空矩阵是0。
合法矩阵插入自变量,定义域一定是在N。
不插入自变量的合法矩阵都是序数。
插入自变量的合法矩阵都是非负整数。
空矩阵和(0)是标准矩阵,(0)(1)是标准矩阵,且对非空序列…,若(0)(…)是标准/合法矩阵,则(0)(1,…)也是标准/合法矩阵,由标准/合法矩阵的任意有限项展开都是标准/合法矩阵。
不是合法矩阵不应当被讨论。
标准矩阵是首选的讨论对象。
对于非空序列…,(…,0)等价于(…),可任意转化。
含有非0项的横向项组成的序列是一个行。
纵向项的总和是一个列。
一个标准矩阵当且仅当它全部有限项展开组成的集合的上确界是这个矩阵本身。
标准矩阵都是合法矩阵。
对于标准矩阵,将列由上到下转为由左到右平铺在一个括号内,可字典序比较大小。
空矩阵之外,最后一列为(0)的矩阵为后继矩阵,否则为极限矩阵,空矩阵不属于它们两者。
末项:
行的最后一项称作这行的末项,未声明末项所属行时,则代表所讨论的矩阵的末列的最下面非0项。
祖先项:
若项P的父项Q,那么Q是P的祖先项。
且若R是Q的父项,那么R是也P的祖先项。
父项:
首行序列的某项S的父项P,是最右侧比S值小的项。
第n⁺行序列的某项S的父项P,是从项S在第n行对应的项S'开始,向左找到所有祖先节点链条,将含有祖先节点的列保留,则当前矩阵中,最右侧的比项S值小的项。
项可以没有父项。
可提升项:
对于某个矩阵来说,从最左侧0到右侧,出现了若干连续的0,这些0都是该矩阵内的可提升项。
非最左侧连续0的某项S,若S没有父项或它的父项不在这部分矩阵内,那么它不是可提升项,且其余项都是可提升项。
展开:
后继矩阵(X)…(0)的展开为(X)…⁺,这种展开称作取前驱。
对于末项P,若P的父项Q的上行项Q'的值不小于P或P在首行,则将末列C(P)项的值由上到下一一对应地减去父项所在列C(Q)项的值,将所得到的列的最后一行非0项减去1,得到提升列Cδ,作差过程中忽略行高度低于P的行。删去C(P),并将C(Q)和C(Q)后面的矩阵记作M_C,将M_C向后复制,第n次复制,将M_C里的可提升项的值由上到下一一对应地加上n×Cδ项的值,复制时总是直接首尾拼接地复制,展开完毕。
对矩阵M展开时将M_C或M_R复制n次的操作称作n项展开,记作M[FS:n]。
插入自变量:
矩阵可插入自变量n记作M[n]。
对于极限矩阵M,M[n]应为M[FS:n][n]。
对于后继矩阵M⁺,M⁺[n]应为M[n⁺]。
对于空矩阵M,M[n]应为n。
结束