首先需要说明：现实中的这类图像当然不会是一条连续曲线，而是一串散点。对于一串散点，要想计算一段时间内的种群数量增长倍数，很简单，只需要把这个区间内的每个点的纵坐标相乘即可。我的目的是把这个问题从离散形式推广到连续形式。

为了方便，下面用 N 表示种群数量，把 N 看作时间 t 的函数，并将 λ 称作“增长率”。
考虑在区间 [ t, t+Δt ] 上，种群数量从 N 增长到 N+ΔN，而这段时间内的平均增长率为 λ，于是就有以下等式成立：
N+ΔN=N*λ^Δt （1）
这个公式的生物学意义显而易见：每过一年，种群数量就乘以 λ，那么经过 Δt 年以后，种群数量就乘以 λ 的 Δt 次方。

我们对（1）式变形，解出 λ，就得到这个式子：
λ=(1+ΔN/N)^(1/Δ t) （2）
利用这个式子，可以计算任意一段时间内的平均增长率。既然如此，只要对（2）式取Δt→0的极限，就可以得到瞬时增长率，也就是瞬时的λ。

计算过程看这张图片，其中 N' 表示 N 对 t 的导数，也就是 dN/dt.
于是我们就得到了瞬时增长率的计算式：
λ=e^(N'/N)

刚刚去吃了个饭，接着更。
现在我们对 λ 的计算式两边取自然对数，得：
ln λ = N'/N
两边同乘 N，得：
N' = N*ln λ
如果把 λ 看作已知函数，那么这就是一个关于 N 的可分离变量的微分方程。
分离变量，得：
(1/N)dN = ln λ dt
两边同时积分，得：
ln N = ∫ ln λ dt + C
两边同时取指数，得：
N(t) = C*e^( ∫ ln λ(t) dt )

既然能够解出 N(t) 的解析式，那么开头提出的问题也就不难解决了：只需要分别计算出变化前后的种群数量，然后做除法即可。

虽然问题已解决，但是借着这个问题，我们还可以有新的思考：
在微积分里，我们把 dy/dx 称为函数的瞬时变化率，即导数。而在这个问题中，λ(t)可以解释为N(t)的瞬时增长率，但是λ(t)并不是N(t)的导数，这意味着对于一个函数的增长速率，除了导数以外，还有其他方式来加以度量。
就在去年，哔哩哔哩上一个叫做“证毕QED”的UP主发了一个视频，介绍了“几何积分”的定义和性质。看过这个视频，我惊奇地发现：λ(t)和N(t)之间的关系，恰好是一个函数和它的几何积分之间的关系。换言之，N是λ的几何积分，而λ则是N的几何导数。这就为几何积分提供了一个生物学背景。随着时代进步，几何积分的应用背景或许会更加广阔。
视频BV号：BV1Z44y1F73f