设圆的半径为r，三角形底边为a
方法一，设三角形底边长度a，可以知道三角形最大面积是过圆心作底边垂线，优弧里那一段直线是最大的高。乘一下面积就出来了。可以发现面积是一个关于a的二次函数，其中0小于a小于2r。可以求出最大值，发现小于圆面积。
方法二，设三角形三边长度分别abc，过圆心作三边的垂线段，垂足def，再延长交圆于点ghl。可以分别求得ad,dg,be,eh,cf,fl长度。此时用a乘ad加b乘be加c乘cf得到的面积即位三角形面积。再用a乘dg加b乘eh加c乘fl，计算可得得到的面积大于等于三角形面积。证明可以在园内做一个内接六边形至少是三角形面积二倍。
方法三，取两个a的长度，a长r时三角形高最大1加二分之根号三，此时面积小于二分之一圆面积。取a长根号三r，此时高最大1.5r，三角形面积小于r二分之一圆面积。当a大于根号三r时，2r乘1.5r也小于πr方，故a大于根号三r时三角形面积小于二分之一圆面积恒成立。当a小于r时，r乘2r也小于πr方，故三角形面积小于二分之一圆面积恒成立。当a在r到根号三r之间时，三角形面积必小于1加二分之根号三倍r乘根号三倍r，这个数小于3r方，故三角形面积小于二分之一圆面积在a大于r小于根号三r时也成立。

还有其他方法吗？

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
2*S三角形=a*b*sinC=4*R²*sinA*sinB*sinC
借用一个结论:sinA*sinB*sinC≤3√3/8
所以2*S三角形≤3√3/2*R²＜πR²
结论证明可以去搜一下，为了防止回复被吞就不放链接了。

设三角形底边为2a，圆心到底边距离为d。则三角形的高h≤d+R，三角形面积S△=ah≤a(d+R)=(d+R)*√(R²-d²)=√[(R+d)(R+d)(R+d)(R-d)]=√3/3*√[(R+d)(R+d)(R+d)(3R-3d)]然后用四元均值不等式即可化成我前面用三角函数证的那个结论，也可以说明小于圆。(底边设为2a是为了写起来方便)

随便取一个三角形ABC，先固定ab边，移动点c至三角形面积达到当前最大值，易知c在ab的中垂线上，同理，依次移动点a和点b，由对称性，易知此时三角形面积达到最大值，且为等边，于是2S三角形=（3sqrt（3））/2 * r^2<3 * r^2 < pi * r^2 = S圆

要不证明一下圆的面积=三角形面积+另外三个弓形面积？

六边形的另一种构造方法

圆内接三角形面积最大时是正三角形。证明过程：
设三角形duABC外接圆半径为r，则
S三角形ABC
=（1/2)absinC
=2r^dao2sinAsinBsinC
<=2r^2[(sinA+sinB+sinC)/3]^3（均值不等回式）答
<=2r^2{sin[(A+B+C)/3]}^3=(3√3/4)r^2（琴生不等式）
等号当sinA=sinB=sinC,即A=B=C时成立，所以当三角形为正三角形时面积最大
然后计算三角形面积*2和圆面积，比较下就行了

内接三角形不大于内接正三角形，翻折对称圆大于2倍正三角形，即证

楼主其他方法大家都用过了，我就提供一个用数列的思路吧！
圆内接三角形中固定一边时等腰三角形面积最大(弓高最大)，可以不断做等腰△求极限找面积最大△，设底角为Aₙ，那么Aₙ₊₁=(π-Aₙ)/2，两边求极限得n→+∞时Aₙ的极限为π/3，即等边△面积最大，后面面积比证明略

三角形垂心关于三边的对称点在该三角形的外接圆上，秒了

cos是凹函数 懒得打太多字