表述有误，E是R上的点集

看不懂，m*是啥？你可别说是测度，这里m*∅>0

你没说，我假定这里是Lebesgue测度。不然随便弄个计数测度之类的显然就不对了。
要证明
任意ε>0，存在δ=ε/2，任意x∈U(x_0, δ)，|f(x)-f(x_0)|<ε。
分析：注意到m(I_x∩E)≤m(I_{x+a}∩E)≤m(I_x∩E)+2a。也就是说，f(x)≤f(x+a)≤f(x)+2a
显然f单调，证明略。
在U(x_0,δ)的右半边（大于x_0的部分），
|f(x)-f(x_0)|≤f(x+δ)-f(x_0)≤f(x_0)+2δ-f(x_0)=2δ≤ε
在U(x_0,δ)的左半边（小于x_0的部分），
|f(x)-f(x_0)|=f(x_0)-f(x)≤f(x_0)-f(x-δ)≤f(x_0)+2δ-f(x_0)=2δ≤ε
所以f在(0,+∞)上连续

f单调不减, 然后对于h>0有
f(x+h)-f(x)=m*(I_{x+h}\cap E)-m*(I_x\cap E)
但是由次可加性有
m*(I_{x+h}\cap E)
≤m*(I_x\cap E)+m*(I_{x+h}\I_x \cap E)
其中最后一个式子的外侧度不大于2h
这意味着2h≥f(x+h)-f(x)≥0
于是巴拉巴拉, 最后就有连续

不知道