初中经典模型：半角模型
（1）因为在△AGH与△BGN中
∠HAG=∠NBG=45°，∠AGH=∠BGN
所以△AGH~△BGN
所以∠AHG=∠BNG，又因为∠AHG=∠DHM
所以∠BNG=∠DHM，又因为∠MDH=∠GBN=45°
所以△BGN～△DMH
（2）（i）等腰直角三角形ANH
连接AC，过点N作NH'⊥AP于点H'
因为正方形ABCD
所以∠CAD=∠ACN=45°
因为∠DAH+∠HAC=∠DAC=45°
∠CAN+∠HAC=∠PAQ=45°
所以∠DAH=∠CAN
又因为∠ADH=∠ACN=45°
所以△ADH～△ACN
AH/AN=AD/AC=cos∠DAC=cos45°=√2 /2
又因为∠AH'N=90°,AH'/AN=cos∠NAH'=cos45°=√2 /2
所以AH'=AH=√2 AN/2，又因为H和H'都在线段AM上
所以H'和H是同一个点
所以在△ANH中，∠AHN=90°，∠HAN=45°
所以等腰直角三角形ANH
（2）（ii）延长NB到点M'使BM'=DM，连接AM',MN
因为正方形ABCD
所以AB=AD，∠ABM'=∠ADM=90°
又因为BM'=DM
所以△ABM'≌△ADM（SAS）
所以∠BAM'=∠DAM，AM'=AM
因为∠DAM+∠BAN=90°-∠MAN=45°
所以∠M'AN=∠BAM'+∠BAN=∠DAM+∠BAN=45°=∠MAN
又因为AM'=AM,AN=AN
所以△M'AN≌△MAN（SAS）
所以∠GNB=∠MNA
因为∠AHG=∠GNB，所以∠AHG=∠ANM
又因为∠MAN=∠GAH
所以△MAN～△GAH
所以AM/AG=AN/AH
所以AG•AN=AM•AH

老乡