线性代数精要【兰州大学吧】

老东西最近在复现论文的时候又温习了线性代数，故开此贴。
线性代数相比微积分上下册更抽象一个原因是其给出了一种关于代数的范式，即研究代数的线性结构，其二则是大部分院系用的教材都是史。这里推荐物院使用的DavidLay那本线性代数及其应用(如果有时间还是建议用书复习而非此贴)
言归正传，一般书的排版是行列式，矩阵，线性方程组，线性空间，二次型。
从认知的角度说，不推荐这种编排方式。
1.线性方程组与矩阵
想我们在初中遇到如下方程组的时候是怎么解决的？
5x+2y＝9
x+y＝3
答案是先相减将x消掉或者y消掉，解除其中之一，再带出另一个得到x＝1，y＝2
当有3个自变量的时候，我们也能解决，如果有n个自变量呢？
这时候我们就需要对理论进行推广。
我们知道，在上例中方程的解取决于其系数，因此我们可以单独提取来研究，做如下形式
［5，2，9］
［1，1，3］
以上形式我们称之为矩阵，在上例中也叫增广矩阵(包括方程组等号另一边的系数)，其中［5，2，9］［1，1，3］这种形式叫做矩阵的行，［5，1］，［2，1］这种形式叫做矩阵的列(其实应该竖着写，奈何lz手机打不出这种符号)
［5，2］
［1，1］
以上形式我们称之为系数矩阵(即不包括等号右边)那么我们要如何将矩阵变形呢？
我们可以用第一行-第二行×2:
［3，0，3］
［1，1，3］
再用第二行×3-第一行:
［3，0，3］
［0，3，6］
即:
［1，0，1］
［0，1，2］ ①
以上计算过程是否与我们当初解方程时一模一样？
没错，我们对于矩阵化简的过程其实就是解线性方程的过程，关于上述①形式的矩阵也叫做阶梯形矩阵(即左下角都是0)
容易证明:对于每一个矩阵，都有唯一的阶梯形矩阵与其等价。
细心的朋友可能会发现，在上例中我们所讨论的方程组刚好是n元n个方程组。初高中我们知道，这种方程组一定有特定的解。那么如果方程组不满足有特解的情况又该如何呢？
打字打累了先到这吧，刚才的版本有点小错误，行说成列了非常不严谨

和第一版修了一点bug并补充了一些，剩下的稍后更新

看不懂

线性代数坏就坏在三维生物想象不到高维空间

接上文
我们观察以下方程组
x-5z=1
y+z=4
通过类似于上文的操作，我们可以得到
x=1+5z
y=4-z ②
但是，由于z可以取任意数值，所以x，y也能够取任意数值，但当z唯一确定时，x和y也唯一确定。②式给出的解称为方程组的通解，因为他给出了所有解的显式表示。
我们也可以给出原始方程组的简化阶梯型表示：
[1,0,-5,1]
[0,1,1,4]
[0,0,0,0]
截止目前，我们已经讨论了关于初中所学方程组有解的两种形式：有唯一解和无穷解。
那么，何种情况是无解的呢？我们考虑以下方程组：
x1-x2-x3+x4=0
-2x1+4x2+5x3-5x4=3
3x1-6x2-6x3+8x4=2
利用文章开头所说将其系数提取为矩阵有：
[1,-2,-1,3,0]
[-2,4,5,-5,3]
[3,-6,-6,8,2]
经过行化简得到阶梯型矩阵如下：
[1,-2,-1,3,0]
[0,0,3,1,3]
[0,0,0,0,5] ③
观察③式，我们会惊奇的发现第三行仅有5一个非零元素，那么按照定义，将矩阵还原为方程组我们会得到0=5，这显然很荒谬。因此我们可以说这组方程组是无解的。
经过上述讨论，我们已经可以得到一个显然的结论了：
增广矩阵的阶梯型没有形如[0，0，……，0，b]，b≠0，的行，则我们称该线性方程组有解

回到第一个例子中：
5x+2y＝9
x+y＝3
在上文的操作中，我们是将系数单独提出来，那么当我们的视角放在自变量的时候，又该如何？
为了方便表示，我们定义
[a]
[a,b,c]^T=[b]
[c]
表示为转置，
因为打不出列表示的符号
让我们继续：
x*[5，1]^T+y*[2,1]^T=[9,3]^T④
我们惊讶的发现，这种形式与我们高中学过的向量十分相似，
我们知道，向量的运算法则满足平行四边形法则a=b+c，与上式表示的结构十分相似即将[9，3]^T拆开为两个基为[5，1]^T,[2,1]^T的向量。不过方向似乎与我们之前学的横置向量(行向量)有所区别。
为了区别于我们之前所学的行向量，我们将现在这种向量表示为列向量，即行向量的转置。
在这里你可以放下疑惑为什么可以如此表示，简单理解为为了表示方便我们如此定义，将向量暂且视为一组有序数对的形式而不必考虑其几何意义，因为将来我们在谈论向量空间时还会涉及到。
在上式④中，x和y均为系数(标量)，而[5,1]^T等均为有序数对(向量)，我们可以如此表示：
称向量[9,3]^T为[5，1]^T和[2,1]^T以x和y的加权线性组合。
为了简洁起见，我们也可以将矩阵
［5，2，9］
［1，1，3］
改写成向量形式
[a1，a2，b]

顶

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力挺学术贴👍

介绍完了向量之后，我们接下来将阐释一下线性代数的基本思想：即把向量的线性组合看作是矩阵与向量的积
即x*[5，1]^T+y*[2,1]^T=[x,y]*[a1,a2]^T
如果我们将y看作x2，则上式可以表示为xA(其中A为矩阵)，容易证明xA=Ax
我们把[9，3]^T这个结果作为向量b，那么最开始的方程组就可以被我们以矩阵的形式改写.
即我们将整个方程改写为矩阵方程Ax=b的形式.
注意：这个形式很重要，它将会是我们接下来研究线性代数的主要手段。
经由上述讨论，我们得到一组很重要的等价关系：
Ax=b(1)
x1a1+x2a2+x3a3+……+xnan=b(2)
[a1，a2，a3，……,an,b](3)
其中(1)(2)(3)的线性方程组有相同的解集，即是说，这三种表示方式是等价的
这种形式告诉我们：Ax=b有解当且仅当b是A的格列的线性组合。
也就是说，只要从{x1，x2，x3，……}中找到任意一组使得等号成立的{xn}即可,
根据以上三种形式，我们还可以得到如下等价关系：
假设A是m*n矩阵
对于R^m中每个b，方程Ax=b有解
R^m中每个b都是A的列的一个线性组合
矩阵 A 的列向量能够通过线性组合覆盖整个m-维向量空间 R^m(A的各列生成R^m)
A在每一行都有一个主元位置
补充：矩阵 A 的主元位置指的是经过行简化后，矩阵中每一行的第一个非零元素所在的位置

日	一	二	三	四	五	六

线性代数精要

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