题目：已知f(x)在[0,+∞)连续，且0≤∫[0,x]f(t)dt≤f²(x)，若存在a,b满足0≤a<b，f(a)=f(b)=0，证明：当a≤x≤b时，f(x)恒等于0.
这是我今天早上的高数考试最后一题的第一问，我当时是这样想的：
设F(x)=∫[0,x]f(t)dt，则0≤F(x)≤f²(x)，又因为f(a)=f(b)=0，所以F(a)=F(b)=0（既≥0又≤0就只能=0），又因为f(x)连续，所以变上限积分F(x)可导，于是由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，满足F'(ξ)=0，即f(ξ)=0。观察上述过程可以发现：对任意的f(x)的两个零点x1和x2，都可以用同样的方法证明存在ξ介于x1和x2之间，使得f(ξ)=0，所以f(x)的任意两个零点之间一定存在第三个零点，也就是说f(x)的零点具有“稠密性”，在此基础上，可以证明区间[a,b]上有无穷多个零点。然而即便如此，仍然无法证明[a,b]内的每一个数字都是f(x)的零点，因为稠密性≠连续性。既然如此，我觉得只要再加上f(x)的连续性这个条件，应该能够证明出来，但是我太菜了，尝试了一下还是没做出来。
希望贴吧大佬指点一下应该怎么证明，谢谢。
这是我今天早上的高数考试最后一题的第一问，我当时是这样想的：
设F(x)=∫[0,x]f(t)dt，则0≤F(x)≤f²(x)，又因为f(a)=f(b)=0，所以F(a)=F(b)=0（既≥0又≤0就只能=0），又因为f(x)连续，所以变上限积分F(x)可导，于是由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，满足F'(ξ)=0，即f(ξ)=0。观察上述过程可以发现：对任意的f(x)的两个零点x1和x2，都可以用同样的方法证明存在ξ介于x1和x2之间，使得f(ξ)=0，所以f(x)的任意两个零点之间一定存在第三个零点，也就是说f(x)的零点具有“稠密性”，在此基础上，可以证明区间[a,b]上有无穷多个零点。然而即便如此，仍然无法证明[a,b]内的每一个数字都是f(x)的零点，因为稠密性≠连续性。既然如此，我觉得只要再加上f(x)的连续性这个条件，应该能够证明出来，但是我太菜了，尝试了一下还是没做出来。
希望贴吧大佬指点一下应该怎么证明，谢谢。
