一，量子系统的每个物理状态都可以由一个态矢量（量子态）来描述。这个态矢量通常存在于一个复希尔伯特空间中，形式上表示为一个向量 ∣ψ⟩，其中每个量子态都对应一个复数向量。
你可以把量子态想象为一个多维空间中的一个点。量子系统的“位置”就对应于这个点，而不同的量子态则对应于不同的点。
这已经很有意思了，我不妨一件件说给你听。
复数希尔伯特空间（通常记作 𝓗 ）是一个无限维的抽象空间。这个空间是由复数值的向量构成的，满足一些特定的数学性质，主要包括：
内积空间、完备性、无限维性、抽象性
那何谓内积空间？
希尔伯特空间就是一个内积空间，其中定义了一个内积，⟨⋅,⋅⟩，这个内积满足正定性、线性、共轭对称等性质。而内积的存在，使得我们能够定义向量的长度和角度。
举一个简单例子：
二维实数空间 ℝ² 中的两个向量，假设我们有两个二维向量：
u=(1.2),v=(3.4)1. 计算内积
在 ℝ² 中，两个向量 的内积是：
⟨u, v⟩ = u1 * v1 + u2 * v2
对于 u = (1, 2) 和 v = (3, 4)，内积是：
⟨u, v⟩ = (1)(3) + (2)(4) = 3 + 8 = 11
至于向量的长度（或叫它范数）是通过内积定义的。在 ℝ²中，向量 u = (u1, u2) 的长度是：
∥u∥ = √(u1² + u2²)
对于 u = (1, 2)，长度是：
∥u∥ = √(1² + 2²) = √(1 + 4) = √5
对于 v = (3, 4)，长度是：
∥v∥ = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
在内积空间中，两个向量之间的角度 θ 通过内积来计算。公式为：
cos(θ) = ⟨u, v⟩ / (∥u∥ * ∥v∥)
将我们之前计算得到的内积和范数倒进公式：
cos(θ) = 11 / (√5 * 5) = 11 / (5√5)
然后，就：
θ = cos⁻¹(11 / (5√5)) ▇▇
就是这样。

从这个计算可以看到：
内积⟨u, v⟩ = 11反映了向量 u 和 v 之间的相互关系，它包含了向量的长度和它们之间的角度。
向量 u 的长度是√5，而向量 v 的长度是 5。这表示这两个向量的大小。
通过内积公式计算出的角度 θ， 反映了两个向量之间的夹角。如果 cos(θ) 的值接近 1，说明它们几乎在同一方向；如果 cos(θ) 的值接近 0，说明它们之间几乎是正交的（垂直）；如果 cos(θ) 的值为 -1，说明它们在相反方向上。
因此才会说内积的存在，使得我们能够定义向量的长度和角度。也正因为向量长度具有如此性质，故被称之为模数。模数使得向量空间具有了几何意义，从此不仅能用来表示方向，还能表示大小。
而能表示方向，又能表示大小的空间，我们通常叫它欧几里得空间。

既然欧几里得空间是能表示方向，又能表示大小的空间，那前面说的希尔伯特空间又是什么？
实际上欧几里得空间是希尔伯特空间的一个特殊例子，主要是处理一些“有限维”的例子，而希尔伯特空间则处理“无限维”例子，类似于狭义相对论和广义相对论的关系，它们在数学上的定义是细微的：
欧几里得空间是有限维的空间，空间内的所有子集，包括柯西序列都可以收敛于空间中的某个点，因此它是完备的。
希尔伯特空间虽然也要求类似的空间结构，但它要求空间是完备的，即每个柯西序列（指在空间内逐渐接近某个值的序列）都必定收敛到空间中的某个元素里。

这些结论都是可以得到数学证明的，就比如说即每个柯西序列（指在空间内逐渐接近某个值的序列）都必定收敛到希尔伯特空间中的某个元素里。

而这些只是量子力学知识的第零步，就需要具备一定的数学功底和时间积累。这也是人们不常讨论量子力学的原因之一。

抓个虫，时间演化的表达式正确形式为 e −i H^ t/ℏ。