9840 压着的题目

挺好看的，关键是我还发现了一个初等一点的证明

好美丽的结论一个特殊情况是D为内心I时有垂心三角形的重心在HI线上吧

轨迹是关于G为枢点的主等角三次曲线汤姆孙三次曲线（没事，经验+3）

在三角形ABC中
令B=（0,0）C=（1,0）
s=tan（B）t=tan(C)
D为平面内一点
p=tan(∠DBC);q=tan(∠DCB)
则通过计算可得
D,G,gD共线的条件是
2*p^2*q^2*s^2 - 2*p^2*q^2*t^2 - 3*p^2*q*s^2*t - p^2*q*s*t^2 - 2*p^2*q*s - 4*p^2*q*t + p^2*s^2*t^2 + p^2*s*t + 2*p^2*t^2 + p*q^2*s^2*t + 3*p*q^2*s*t^2 + 4*p*q^2*s + 2*p*q^2*t + 2*p*q*s^2 - 2*p*q*t^2 - p*s^2*t - p*s*t^2 - q^2*s^2*t^2 - 2*q^2*s^2 - q^2*s*t + q*s^2*t + q*s*t^2==0
H G´ T gD共线的条件也是
2*p^2*q^2*s^2 - 2*p^2*q^2*t^2 - 3*p^2*q*s^2*t - p^2*q*s*t^2 - 2*p^2*q*s - 4*p^2*q*t + p^2*s^2*t^2 + p^2*s*t + 2*p^2*t^2 + p*q^2*s^2*t + 3*p*q^2*s*t^2 + 4*p*q^2*s + 2*p*q^2*t + 2*p*q*s^2 - 2*p*q*t^2 - p*s^2*t - p*s*t^2 - q^2*s^2*t^2 - 2*q^2*s^2 - q^2*s*t + q*s^2*t + q*s*t^2==0
所以两者互为充要条件