给定正整数k和正实数ε, 对正整数n>k/ε, 在所有满足n<a₁<a₂<…<a_k<(1+ε)n的k元正整数组a₁,a₂,…,a_k中, 将lcm(a₁,a₂,…,a_k)的最小可能值记为f(n)
可以证明, 存在由k,ε确定的正数c₁=c₁(k,ε), c₂=c₂(k,ε), 使得c₁n≤f(n)≤c₂n对所有足够大的n都成立, 并且当k>1时c₁>1
其实c₁可以取为k, 因为lcm(a₁,a₂,…,a_k)/a₁一定是不小于k的正整数
问题: 似乎可以证明 lim f(n)/n (n→∞)总存在 ??
当k=1时, lim f(n)/n = 1
当k=2时, lim f(n)/n 应该等于 2+1/ε 的整数部分(设为r)
这是因为对任意n<a₁<a₂<(1+ε)n,
lcm(a₁,a₂)/a₁= a₂/gcd(a₁,a₂) ≥ a₂/(a₂-a₁) >1+1/ε
lcm(a₁,a₂)/a₁是整数, 所以不小于2+1/ε的整数部分r,
从而推出 lcm(a₁,a₂)≥ ra₁ > rn 对任意n<a₁<a₂<(1+ε)n都成立
另一方面, 当a₂/(a₂-a₁)=r 时 lcm(a₁,a₂)=ra₁
因此只要r-1 | a₁, 再取a₂= a₁*r/(r-1), 同时n<a₁<(1+ε)(r-1)n/r 就可以使lcm(a₁,a₂)=ra₁
由于(1+ε)(r-1)/r>1, 并且总存在a₁同时满足n+1≤a₁≤n+r-1与r-1| a₁, 所以满足上面要求的a₁总存在, 而且当n→∞时这样的a₁/n的最小值→1
从而可以使 lcm(a₁,a₂)= ra₁ ≤ (1+o(1))rn 总对某组a₁,a₂成立, 所以lim f(n)/n = r