30.两个群积的中心是中心的积.

31.设H,K是群G的子群，证明HK=KH当且仅当HK是一个子群.

32.设G是群，包含两个子群H,K分别是3阶，5阶正规子群，证明G包含一个15阶元素.

33.设x属于G的阶为m，y属于G'的阶为n，问(x,y)属于G×G'的阶是多少？

34.设H是群G的子群，并设f:G->H为同态，且f(h)=h对任意h属于H.设N=kerf.证明如果G是阿贝尔群，则它同构与H×N.

35.设P是群G的一个划分，具有以下性质:对划分中任一对元素A,B，积AB完全包含在划分的另一个元素C中，设N是P中包含1的元.证明N是正规子群.

36.设H={1，-1，i,-i}是G=C*中四次单位根子群，描述H在G中的陪集，并证明G/H同构于G.

37.证明积群G×G'的子集G×1是一个与G同构的正规子群，且(G×G')/(G×1)同构于G'.

38.设S是有限多个元素的半群且满足消去律，证明S是群.

40.n×n的实矩阵集合等同于R^n，设G是GLn（R)的子群，证明:(a).如果A,B,C,D属于G,且G中有A到B的路和C到D的路，则G中有一条AC到BD的路.(b).所有可以连到I的矩阵集合构成G的一个正规子群(称为G的连通分支).

41.(a)证明SLn(R)是路连通的.(b)证明GLn（R)是两个路连通子集的并，并描述它们.

42.设H,K是群G的子群，设g属于G,集合HgK={x属于G|存在h属于H,k属于K,使x=hgk}称为双陪集.
(a)证明双陪集划分G.
(b)所有双陪集都有相同的阶么？

43.设H是群G的子群.证明若H是正规子群，双陪集HgH是左陪集gH.

44.证明GLn（R)的子群H={下三角矩阵},K={上三角矩阵}的双陪集是HpK,其中p是置换矩阵.

45.设M是平面运动群，O是正交算子群，T是平移群.证明T是M的正规子群，而O不是.