“五猴分桃”问题概说

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“五猴分桃”问题的一般化

“五猴分桃”原题，简单地说是：先拿走1个，然后平均分为5份，拿走1份，共5次，记作
“1、5、1、5”。
我把问题一般化后改写成：“每次都是先拿走a个，然后平均分为b份，拿走其中c份，共n次”，简记为：“a、b、c、n”。求最初有多少个、最后剩多少个。


“五猴分桃”问题解决方法是：
一，运用巧妙的“借”的思路，算出关键的“借数”；
二，经过必要的“操作的具体过程”，观察、分析，写出通解公式；
三，确定通解公式中的k值，最后算出所需的具体的解。


我是按以下四种情况去探究的：
一：a是c的倍数，b，c互质；
二：a是c的倍数，b，c不互质；
三：a不是c的倍数，b，c互质。
四：a不是c的倍数，b，c不互质。


经深入探究，发现其中第四种还可分为三种情况。
这样，“猴子分桃”问题的解答，总共有六种类型。

“五猴分桃”问题的类型
先引进一个重要数据：借数J=(a/c)(b-c);
然后来看“五猴分桃”问题的六个类型。
第一类型：a，b，c，n（a是c的倍数；b，c互质）。比如：1，5，1，3；
第二类型：a，B，C，n（a是C的倍数；B，C最大公约数为d≥2)。比如：2，10，2，3；
第三类型：a，b，c，n（a不是c的倍数；b，c互质）。比如：1，5，2，3；
第四类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是C的倍数但是d的倍数，J为分数时）比如：2，10，6，3；又如，2，14，8，3；
第五类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是C的倍数但是d的倍数，J为整数时）。比如：2，10，4，3；又如，4，14，8，3；
第六类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是d的倍数）比如：1，10，2，3。

“五猴分桃”问题各种类型的解法要点


第一类型：a，b，c，n（a是c的倍数；b，c互质）
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k的确定:解不等式y﹥0，
第二类型：a，B，C，n（a是C的倍数；B，C最大公约数为d≥2）
转化为：a，b，c，n（a是c的倍数；b，c互质）
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k由下列两个联立确定
（1）解不等式y﹥0，
（2）解不定方程：x-a=Bp
第三类型：a，b，c，n（a不是c的倍数；b，c互质）
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0
（2）解不定方程：

第四类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是C的倍数，但是d的倍数，J为分数时）
转化为：a，b，c，n（a是c的倍数；b，c互质）
1）借数J=(a/c)(b-c)=s/t
2）通解公式：

3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式：y﹥0，
（2）解不定方程：x-a=Bp
第五类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是C的倍数但是d的倍数，J为整数时）。
转化为：a，b，c，n（a是c的倍数；b，c互质）
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式：y﹥0
（2）解不定方程：x-a=Bp
第六类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是d的倍数）
无解。
以上解法，归纳一下，待续。

除了第六类型是无解以外，还有五个类型，它们的解法要点归纳一下：
一，各类型的计算借数J的式子都是(a/c)(b-c)
二，x和y的通解式，有两种情况：
1，当借数J是整数时，
；
2，当借数J是分数时，记作s/t,

三，确定k，都需要y﹥0。
具体地说，有三种情况：
1,当a是c的倍数，b与c互质时(即第一类型），解不等式y﹥0即可；
2，当a不是c的倍数，b与c互质时(即第三类型），可综合下面两点确定:
1）解不等式：y﹥0，
2）解不定方程

3，当b与c不互质时(即第二、四、五类型），可综合下面两点确定:
1）解不等式：y﹥0，
2）解不定方程：x-a=Bp。（含义：x拿走a个后，可平均分为B份，每份p个）。
简单例子，待续。

5楼的“五猴分桃”问题各种类型的解法要点，也就是给出了解题的具体步骤。可以看到，解题的格式完全一样，只是具体的计算式子有所不同。
下面对各种类型各举几个简单例子，实际领会解题要点。
第一类型：a，b，c，n（a是c的倍数；b，c互质）
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）x、y通解公式：

3）k的确定:解不等式y﹥0。
例1：1，5，1，3
解：
1）J=(1/1)╳(5-1)=4;
2）x、y通解公式：
x=(5^3)k- 4=125k-4;
y=[(5-1)^3]k- 4=64k-4;
3)k的确定:
解不等式64k-4﹥0,解得：k﹥4/64,得k≥1;
4)最小的x=125╳1-4=121;
最小的y=64╳1-4=60。

例2：100，5，1，3
解：
1）J=(100/1)╳(5-1)=400;
2）x、y通解公式：
x=(5^3)k- 400=125k-400;
y=[(5-1)^3]k- 400=64k-400;
3)k的确定:
解不等式y﹥0，即64k-400﹥0,解得：k﹥400/64=6.25,得k≥7;
4)最小的x=125╳7-400=475;
最小的y=64╳7-400=48。

第二类型：a，B，C，n（a是C的倍数；B，C最大公约数为d≥2）
转化为a，b，c，n,其中B=bd、C=cd。
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0；
（2）解不定方程：x-a=Bp

例1：2，10，2，3；
解：d=（10，2）=2；转化为2，5，1，3
1）借数J=(2/1)(5-1)=8；
2）x、y通解公式：
x=(5^3)k- 8=125k-8;
y=[(5-1)^3]k- 8=64k-8;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即64k-8﹥0，解得；k﹥8/64。得k≥1;
（2）解不定方程：x-2=10p，即125k-8-2=10p，整理得p=(25k-2)/2,解得k=2、4、6……
4)最小的x=125╳2-8=242;
最小的y=64╳2-8=120。
例2：200，10，2，3；
解：d=（10，2）=2；来看200，5，1，3
1）借数J=(200/1)(5-1)=800；
2）x、y通解公式：
x=(5^3)k- 800=125k-800;
y=[(5-1)^3]k- 800=64k-800;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即64k-800﹥0，解得；k﹥800/64=12.5。得k≥13;
（2）解不定方程：x-200=10p，即125k-800-200=10p，整理得p=(25k-200)/2,解得k=10、12、14、16……
综上两点得k=14、16、18、……
4)最小的x=125╳14-800=950；
最小的y=64╳14-800=96。

第三类型：a，b，c，n（a不是c的倍数；b，c互质）
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，
（2）解不定方程：

例1：1，5，2，3；
解：
1）借数J=(1/2)(5-2)=3/2；
2）x、y通解公式：
x=[(5^3)k- 3]/2=(125k-3)/2;
y={[(5-2)^3]k- 3}/2=(27k-3)/2;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即27k-3﹥0，解得；k﹥1/9。得k≥1;
（2）解不定方程：y=(27k-3)/2;，解得k=1、3、5、……
综上两点得k=1、3、5、…………
4）最小的x=(125╳1-3)/2=61；
最小的y=(27╳1-3)/2=12。
例2：49，5，2，3
解：
1）借数J=(49/2)(5-2)=147/2；
2）x、y通解公式：
x=[(5^3)k- 147]/2=(125k-147)/2;
y={[(5-2)^3]k- 147}/2=(27k-147)/2;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即27k-147﹥0，解得；k﹥147/27=5.4。得k≥6;
（2）解不定方程：y=(27k-147)/2;，解得k=1、3、5、……
综上两点得k=7、9、11、…………
4）最小的x=(125╳7-147)/2=364；
最小的y=(27╳7-147)/2=21。

第四类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是C的倍数但是d的倍数，J为分数时）
1）借数J=(a/c)(b-c)=s/t
2）通解公式：

3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式：y﹥0，
（2）解不定方程：x-a=Bp

例1：2，10，6，3；
解：d=（10，6）=2；来看2，5，3，3
1）借数J=(2/3)(5-3)=4/3；
2）x、y通解公式：
x=[(5^3)k- 4]/3=(125k-4)/3;
y={[(5-3)^3]k- 4}/3=(8k-4)/3;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即8k-4﹥0，解得；k﹥1/2。得k≥1;
（2）解不定方程：x-2=10p，即(125k-10)/3=10p，整理得p=(25k-2)/6,解得k=2、8、14、……
综上两点得k=2、8、14、…………
4）最小的x=(125╳2-4)/3=82；
最小的y=(8╳2-4)/3=4。

例2，20，10，6，3：
解：d=（10，6）=2；来看20，5，3，3
1）借数J=(20/3)(5-3)=40/3；
2）x、y通解公式：
x=[(5^3)k- 40]/3=(125k-40)/3;
y={[(5-3)^3]k- 40}/3=(8k-40)/3;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即8k-40﹥0，解得；k﹥5。得k≥6;
（2）解不定方程：x-20=10p，即(125k-100)/3=10p，整理得p=(25k-20)/6,解得k=2、8、14、……
综上两点得k=8、14、…………
4）最小的x=(125╳8-40)/3=320；
最小的y=(8╳8-40)/3=8。

例3，待续

第四类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是C的倍数但是d的倍数，J为分数时）
1）借数J=(a/c)(b-c)=s/t
2）通解公式：

3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式：y﹥0，
（2）解不定方程：x-a=Bp


例3，2，14，8，3；
解：d=（14，8）=2；来看2，7，4，3
1）借数J=(2/4)(7-4)=3/2；
2）x、y通解公式：
x=[(7^3)k- 3]/2=(343k-3)/2;
y={[(7-4)^3]k- 3}/2=(27k-3)/2;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即27k-3﹥0，解得；k﹥1/9。得k≥1;
（2）解不定方程：x-2=14p，即(343k-7)/2=14p，整理得p=(49k-1)/4,解得k=1、5、9、……
综上两点得k=1、5、9、……
4）最小的x=(343╳1-3)/2=170；
最小的y=(27╳1-3)/2=12。

例4，50，14，8，3
解：d=（14，8）=2；来看50，7，4，3
1）借数J=(50/4)(7-4)=75/2；
2）x、y通解公式：
x=[(7^3)k- 75]/2=(343k-75)/2;
y={[(7-4)^3]k- 75}/2=(27k-75)/2;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即27k-75﹥0，解得；k﹥75/21=2.7。得k≥3;
（2）解不定方程：x-50=14p，即(343k-175)/2=14p，整理得p=(49k-25)/4,解得k=1、5、9、……
综上两点得k=5、9、……
4）最小的x=(343╳5-75)/2=820；
最小的y=(27╳5-75)/2=30。

第五类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是C的倍数但是d的倍数，J为整数时）。
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式：y﹥0，
（2）解不定方程：x-a=Bp


例1：2，10，4，3；
解：d=（10，4）=2；来看2，5，2，3
1）借数J=(2/2)(5-2)=3；
2）x、y通解公式：
x=(5^3)k- 3=125k-3;
y=[(5-2)^3]k- 3=27k-3;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即27k-3﹥0，解得；k﹥1/9。得k≥1;
（2）解不定方程：x-2=10p，即125k-5=10p，整理得p=(25k-1)/2,解得k=1、3、5、……
综上两点得k=1、3、5、……
4）最小的x=125╳1-3=122；
最小的y=27╳1-3=24。

例2：50，10，4，3：
解：d=（10，4）=2；来看50，5，2，3
1）借数J=(50/2)(5-2)=75；
2）x、y通解公式：
x=(5^3)k-75=125k-75;
y=[(5-2)^3]k-75=27k-75;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即27k-75﹥0，解得；k=2.8。得k≥3;
（2）解不定方程：x-50=10p，即125k-125=10p，整理得p=25(k-1)/2,解得k=1、3、5、……
综上两点得k=3、5、……
4）最小的x=125╳3-75=300；
最小的y=27╳3-75=6。

例3：待续

第五类型：a，B，C，n（B，C最大公约数为d≥2,a不是C的倍数但是d的倍数，J为整数时）。
1）借数J=(a/c)(b-c)
2）通解公式：

3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式：y﹥0，
（2）解不定方程：x-a=Bp
例3：4，14，8，3；
解：d=（14，8）=2；来看4，7，4，3
1）借数J=(4/4)(7-4)=3；
2）x、y通解公式：
x=(7^3)k-3=343k-3;
y=[(7-4)^3]k-3=27k-3;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即27k-3﹥0，解得；k﹥1/9。得k≥1;
（2）解不定方程：x-4=10p，即343k-7=14p，整理得p=(49k-1)/2,解得k=1、3、5、……
综上两点得k=1、3、5、……
4）最小的x=343╳1-3=340；
最小的y=27╳1-3=24。
例4：72，14，8，3
解：d=（14，8）=2；来看72，7，4，3
1）借数J=(72/4)(7-4)=54；
2）x、y通解公式：
x=(7^3)k-54=343k-54;
y=[(7-4)^3]k-3=27k-54;
3）k由下列两个联立确定:
（1）解不等式y﹥0，即27k-54﹥0，解得；k﹥2。得k≥3;
（2）解不定方程：x-72=10p，即343k-126=14p，整理得p=(49k-18)/2,解得k=2、4、6、……
综上两点得k=4、6、……
4）最小的x=343╳4-54=1318；
最小的y=27╳4-54=54。
第六类型：（B，C最大公约数为d≥2,a不是d的倍数）
比如：1，10，2，5；又如，123，10，2，5：
无解。

解答“五猴分桃”问题的一般程序
由前面各种类型的例子可以看到，解答“五猴分桃”问题的有很固定的程序，再次明确如下。
给出“五猴分桃”问题“a、b、c、n”后，可按如下程序进行：
一，如果b、c不互质，那么可把问题写成“a，B，C，n”（B，C最大公约数为d≥2)，然后来看a、b、c、n（b、c互质；B=bd，C=cd);
二，算出J=(a/c)(b-c) ， 根据J写出x、y的通解公式：
1，如果J为整数，那么：

2，如果J为分数，那么记J=s/t，那么：

三，确定k，都需要y﹥0。具体地说，有三种情况：
1，当a是c的倍数，b与c互质时(即第一类型），解不等式y﹥0即可；
2，当a不是c的倍数，b与c互质时(即第三类型），可综合下面两点确定:
1）解不等式：y﹥0，
2）解不定方程

3，当b与c不互质时(即第二、四、五类型），可综合下面两点确定:
1）解不等式：y﹥0，
2）解不定方程：x-a=Bp。

本帖名为《“五猴分桃”问题概说》，重点是对“五猴分桃”问题的解答做概括的说明。也就是说，就是为了解题。既然称之为“概说”，所以对于其中的思路、数学推导过程、一些细节都还没有真正的说明。
如前简单所说，“五猴分桃”问题解决方法是：
一，运用巧妙的“借”的思路，算出关键的“借数”；
二，经过必要的“操作的具体过程”，观察、分析，找出通解公式；
三，确定通解公式中的k值，最后算出所需的具体的解。
“借数”的来历、作用；“通解公式”如何求得；k值的确定方法。对这3个基本问题，我都有正规、严谨的思考、推导过程。我是经反复多次修订成目前这样的，真所谓是“艰辛探索”。这样的过程本身说明，“目前这样的”，也许也还是要修订。
本“概说”给出的“五猴分桃”问题的解答方法、步骤，相当的简明、明确，容易掌握、实施，希望吧友喜欢。
欢迎发表意见、异见，欢迎质疑。需要时我再次修订。
鉴于是“概说”，本帖就不再对有关的具体思路、处理方法、推导过程等进行细说了。
如果有吧友愿意了解、愿意交流，到时再说！