〔训诂〕衍
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衍 yǎn｛数理类｝
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[会意] 衍的本义为平面坐标系，《周易》名大衍。
衍为单义辞∶–衍
引证∶
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□衍，水朝宗于海貌也。从水从行。以淺切。
（摘于清代段玉裁《說文解字注》）
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〔解〕
《说文》∶“宗，尊祖庙也”。衍字“从水”，却为何与祖庙有关呢？这得由衍字“从行”说起。

行的甲骨文与金文字形，都似古代城邑的十字街区。《说文》∶“行，人之步趋也”，欲趋步于邑内东西南北中五区的哪区？
古时人少邑也不大，邑内仅有一个十字街，邑内的每个院都是有坐标的。如北京的东四7条，西四9条。因此，平面直角坐标系源于古邑。

当然，仅字形不能判定坐标系。我国古代的平面直角坐标系见于《周易》。
引证∶
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□大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时。
（摘于《周易.系辞》）
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〔解〕
此是平面直角坐标系的周易原文，是以天地数而建的象数模型。

〔句读〕大衍之数五十，其用四十有九。
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画一表格，横7点，纵7点，7×7＝49点。但仅有表格而无数，是不能成为坐标系的。于是加一点以示元子。有了此点，即有了横坐标与纵坐标。于是平面直角坐标系得以建立。
49＋1=50，此“大衍之数五十”。元子1点能游于平面直角坐标系的任一象位，且49点都能用上，此“其用四十有九”。
引证∶
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□天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。
（摘于《周易.系辞》）
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□天数五，地数五。五位相得而各有合，天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。
（摘于《周易.系辞》）
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〔解〕
何以大衍只取7×7或49？且看如下算式。
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天数五∶1＋3＋5＋7＋9＝25
地数五∶2＋4＋6＋8＋10＝30
合∶25＋30＝55
得∶天地数之和55
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自然数取名于自然曲线之序。1、3、5、7、9位于曲线的波峰，近于天故名天数。2、4、6、8、10位于曲线的波谷，近于地故名地数。
十个自然数（天地数）在坐标系中变化无穷，如此则能行于（即代替）巫卜鬼神之道。
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4×4=16
5×5=25
6×6=36
7×7=49
8×8=64
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此组数中，16，25，36皆太小，而64又大于“天地之数五十有五”，惟49近于55，故大衍取之。
可见，取49仅是“演天地之数”的数学模型而已，并非只限7×7，实可以无限大。古人以天地数为模型，今人以无限数为数学模型，皆因习俗不同而已。

〔句读〕分而为二以象两。
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将上面7×7的表格“揲”（叠）一下，则叠缝将表格分为上下两片，以象阴阳。上片的表格为阳，下片的表格为阴。两即阳阳两仪。“仪”读如仪器的仪。上片的数被两仪测定为阳数，又叫正数。下片的数被两仪测定为阴数，又叫负数。
万物皆负阴而抱阳，数亦有阴阳。凡古书阴阳涉数者，皆可训为正负数。我国有人类最早的正负数及其算法。正负数源于周易阴阳学说。故“分而为二以象两”是世上最早的正负数论。《九章算术》的作者张苍是大儒荀子门徒。《九章算术》正负数理与《周易》阴阳数是一脉相承的。

〔句读〕挂一以象三，揲之以四以象四时。
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《说文》：挂，画也。
大衍盘的上片为正数区，下片为负数区。两区以横叠线（x轴）为界线。此时仅能显示正负值，却不能显示某点的象位。迫不得已，只好将大衍盘再揲（叠）一次，引入y轴（即纵叠线）。
这样，横叠线（x轴）和纵叠线（y轴）就把大衍盘分成了4份。并以春夏秋冬命名为“四时”，或以东方青龙，南方朱雀，西方白虎，北方玄武，而命名为“四象”（四象限）。此即“揲之以四以象四时”。
有了“四象”，大衍盘上的任1点皆可定其象位。“挂一”，在大衍盘上画1点。此时，其图象则有3点。即“挂一以象三”。哪三点？
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1、挂º1点（元子）
2、x轴1点（天维）
3、y轴1点（地维）

可见，一字一句地严译，人们常说的“太极生两仪，两仪生四象。”其实为平面直角坐标系。
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读懂了大衍，则衍的字义就一目了然∶据小篆及楷体字形，衍字“从水从行”，谓水（氵）流于十字街（行）。因大衍坐标系取象于邑内十字街区，故可判定‹衍›字三点（氵）的寓意，正是“挂一以象三”的三点坐标。
《说文》∶“海，天池也”。而这天池，象大衍。若大衍坐标系内绘有多条函数曲线，就像天池内有多纹海波。此即“衍，水朝宗于海貌”。

□夫未战而庙算胜者，得算多也；未战而庙算不胜者，得算少也。多算胜，少算不胜，而况于无算乎！吾以此观之，胜负见矣。
（摘于《孙子兵法.计篇》）
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不难看出，《说文》所言“水朝宗于海貌”的朝于宗庙（朝宗），正是孙子所说的庙算。庙算以何为算具？当然以大衍。大衍为最常用庙算礼器。所谓“海貌”，是说衍字取貌于海，而非真海。凡把衍字训为真水真海，就错了。

【辞源】
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□稽疑：择建立卜筮人，乃命卜筮。曰雨，曰霁，曰蒙，曰驿，曰克，曰贞，曰悔，凡七。卜五，占用二，衍忒。立时人作卜筮，三人占，则从二人之言。
（摘于《尚书.洪范》）
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〔解〕
曰雨（下雨），曰霁（雨止），曰蒙（濛暗），曰驿（不交），曰克（相交），此五者由龟卜而知，故曰“卜五”。内卦曰贞，外卦曰悔。此二者由数理而占，故曰“占用二”。
贞者，正也。正为画正正正而统计。悔者，因统计而知悔。衍者，大衍坐标系。《说文》∶“忒（tè），更也”。或贞或悔，由大衍坐标系的演算而更改。故曰“衍忒”。
此章存《尚书》唯一的‹衍›，故可视为‹衍›的辞源。《尚书.洪范》并未对‹衍›作释义，但它显然不是水朝于海，而只能是“水朝宗于海貌”的庙算工具。据《周易.系辞》的“极数往来之谓占”，故可知‹占›、‹衍›都为数术工具。此是不可或缺的义理证据。

【例句】
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1、以五乘十，大衍之数也，而道据其一，其余四十九。
（摘于《汉书.律历志》）
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〔解〕
所谓“大衍之数”，是以5×10[表格]。
而“道据其一”可插注为∶道（本义为刻度线）据（本义为杖持，直角拐杖喻坐标线）其一（一于数理为一点，可游行于其余四十九点）。
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2、北海若曰：以道观之，何贵何贱，是谓反衍。
（摘于《庄子.秋水》）
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〔解〕
道，本义为刻度线。有了物价曲线，或贵或贱就一目了然。反，读如反复。所谓“反衍”，是由大衍图表反复判定无误的物价曲线，而非偶然显示的曲线。否则，就无法判定“何贵何贱”了。
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3、道生一，一生二，二生三，三生万物。（摘于《道德经》）
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〔解〕
历代注家对于此句皆难以自圆其说。但此句显然取于《周易.系辞》。
道生一∶道源于元子一点。即道生于无极。
一生二∶元子一点生出正负数轴。即“太极生两仪”。仪读如仪表的仪。两仪为正负数轴。
二生三∶二条正负数轴相交，生出三点坐标。即“挂一以象三”。
三生万物∶三点坐标能生出万物之数。即“大衍演天地之数”也。不然，三怎能生万物呢？

□依韵和安陆孙司谏见寄（选）
（宋.范仲淹）
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穰下故都今善藩，
沃衍千里多丰年。
孙公顷以清净化，
我来代之惭二天。
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〔析〕
穰ráng，丰收。时值丰年之下，昔日的都城，今已为藩属，且“沃衍千里多丰年”。千里并非一条线，而是1000里×1000里的平面。“多丰年”是由大衍平面坐标系算法求出的，不然，仅千里一线，是很难得出“多丰年”结论的。如此赏析令诗义通达。然而孙司谏大人却倾向于道家清净算法预测丰年。故我代同僚们致以惭言，感谢恩人。“二天”为典故，喻恩人。
引证∶
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顺帝时，[苏章]迁冀州刺史，故人为清河太守，章行部案其奸臧，乃请太守设酒肴，陈平生之好甚欢，太守喜曰：“人皆有一天，我独有二天”。
（摘于《后汉书.苏章传》）