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在极限的思想引入数学后,在几何领域出现了很多反直觉的结论
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兔子宝宝蹦呀蹦
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比如(0,1)上的点可以和整个数轴上的点一一映射。点是构成几何的最基本元素,如果一条短线段上的点和长线段上的点数一样多的话,那么长度还具有意义嘛?如果一个小图形中的点数和大图形中的点数一样多,那么面积还有意义嘛?长度和面积在物理中肯定是有意义的,因为现实中是不存在无穷大和无穷小的,长的物体就是比短的物体要重。但在数学中这种差异似乎被极限的概念消除了。数学专业是否有更深层次的数学去统一或者说是解释这种矛盾呢?
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1楼
2023-11-06 16:53
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佛浩慨LA
铁杆吧友
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没有矛盾。数学本来不是现实中的东西,或者你可以理解为数学是高于生活的。现实所有东西都是有限的,一条绳子再细也有体积,上边的原子个数是有限的,在动来动去没有确切的长度。
当你需要用绳子绑东西,你可以把它当成数学里的线,用数学算出你想要的答案。当你需要考虑绳子的原子个数,你可以用离散数学去模拟,你就不能再把绳子作为线去研究。
数学本身不依赖于现实,数学自身就是一门自成体系的学科。但是把数学用好了,就能帮大家解决现实中的问题,至于能不能用好取决于每个人的数学水平和智慧。
另外,数学里如果两个集合一一对应,称为等势。"一样多"只是个通俗说法。有限的情形,一一对应,互相包含关系,都是一样多,而且等价。但是无限的时候,互相包含和一一对应不是一回事。是否一样多取决于你怎么定义多和少
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2楼
2023-11-06 17:53
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咕哒咕咕噜
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面积和长度对应的是测度,你这个说的是集合的势,势和测度不能等同地看
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3楼
2023-11-06 18:49
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Nightspace
铁杆吧友
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这就是为什么我讨厌一样多这种说法,两个集合可以建立双射就是两个集合之间可以建立双射,哪里来的多?无穷集合有"多"这种概念吗?
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4楼
2023-11-06 20:32
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变强才不会被欺负
知名人士
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这个应该是有的
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5楼
2023-11-06 20:42
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这真不是钓鱼
人气楷模
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学习下测度论
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6楼
2023-11-06 20:47
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萌虎
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基数和测度不是一个东西
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7楼
2023-11-06 22:08
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巨魔
初级粉丝
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有意义的。而且长度是长度,面积是面积,点本身是没有长度或者面积的,不能说点数一样多所以长度或者面积就一样多,它们应该是一种概念
IP属地:广西
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8楼
2023-11-07 01:28
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2025-08-01 05:30:41
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免疫因子风暴
高级粉丝
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我想问一下【0,1】上的点是不是比整个数轴上的点一样多?这条线段上的所有点可以与圆心(0.5,0.5)半径0.5的半圆弧一一对应,但是这条圆弧上的点似乎并不能与数轴对应,多出两个端点
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9楼
2024-01-30 21:40
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贴吧用户_78XteQa
中级粉丝
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(0,1)和实数等势没什么关系,用个初等的分段函数就能构造出二者之间的双射。比如:f(x)=1+1/x, 若x>1;=x, 若-1≤x≤1;=-1-1/x,若x<-1,这样就构造了全体实数到(-2,2)的双射,再通过g(x)=x/4+1/2放缩+平移一下即可。
主要是势(基数)这个概念只概括了“存在相互之间的双射”这一部分信息,而它在有限集上恰好与有限集的大小等价罢了。数学里用来概括长度/面积等概念的东西叫测度,Lebesgue测度是满足你想要的(大部分)性质的。只不过这东西很复杂,一般数学系也得先学完数学分析才能在实分析里学习。
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11楼
2024-02-01 10:23
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我的歌姬
小吧主
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基数和测度不是一个东西
IP属地:山东
12楼
2024-02-01 10:31
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天空Sky
知名人士
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可是数学中的点是没有长度的啊,一一映射和长度有什么关系呢
IP属地:河南
13楼
2024-02-01 11:32
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