数论吧 关注:13,281贴子:75,573
  • 18回复贴,共1
求助

对于弱费马大方程有解吗?

只看楼主收藏回复

x^n+y^n=z^a
x y z a都是正整数,我称之为弱费马大方程
1^3+2^3=2^2
对于任意n,是否有解


IP属地:湖北来自Android客户端1楼2024-06-16 16:26回复
    不要求a≥2的话,肯定是有解的


    IP属地:安徽来自Android客户端2楼2024-06-16 18:44
    收起回复
      当我们不要求a≥2的时候,也就是考虑 ( x^n + y^n = z^a ),即使 ( a = 1 ),也可以找到解的意思。


      IP属地:广东3楼2024-06-16 23:19
      收起回复
        存在性证明:
        对于任意整数 x ,可以选择 y = 0 ,那么 z = x + 0 = x ,因此 (x, 0, x) 是方程 ( x + y = z ) 的一个解。
        同理,选择 ( y = -x ),则 ( z = x + (-x) = 0 ),因此 ( (x, -x, 0) ) 也是方程的一个解。
        这表明对于任意整数 ( x ),都可以找到至少两个整数 y ) 使得 ( x + y = x ) 和 ( x + (-x) = 0 ),从而说明存在无穷多个解。
        一般性证明:
        设 ( x ) 为任意整数,我们可以令 ( y = k - x ),其中 ( k ) 是任意整数。这时候,z = x + (k - x) = k 。
        因此,对于任意整数 ( k ),三元组 ( (x, k - x, k) ) 都是方程 ( x + y = z ) 的解。
        这种构造显示了对于 ( n = 1 ),方程 ( x + y = z ) 具有无穷多个整数解。这是因为这个方程是线性的,可以根据任意整数 ( x ) 和 ( k ) 构造出新的解。


        IP属地:广东4楼2024-06-16 23:23
        收起回复
          题目变成x∧a+y∧b=z∧c,x y z三个数是素数,a b c三个数是自然数,那么x y z必有一个数是2,另两个数是任意素数能不能找到一个或多个解?


          IP属地:安徽来自Android客户端6楼2024-06-17 20:06
          回复