1.设A属于Mn(K),f1(x),f2(x)属于K[x],记f(x)=f1(x)f2(x).证明:若f1(x),f2(x）互素，则
f(A)X=0的任一解可以唯一的表示为f1(A)X=0的一个解与f2(A)X=0的一个解的和。

2.K[x]中一个n次（n>=1)多项式f(x)能被它的导数整除的充分必要条件是它与一个一次因式的n次幂相伴。

3.两个n级实矩阵A与B不相似，则把它们看成复矩阵后仍然不相似。

4.设a1,a2...an是n个不同整数，设f(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an)-1,则f(x)在Q上不可约。

5.构造一个整系数多项式，使得它在任意Zp上可约，在Q上不可约。
ps:这是今年丘赛某题的第一问。

6.设V是域F上的线性空间，charF=0.证明:如果A1，A2...As是V上s个两两不同的线性变换，那么V中至少有一个向量a,使得A1a,A2a...Asa两两不同。

7.设V是域F上的n维线性空间，设A是V上的指数为n的幂零变换.证明:V中存在一个基，使得A在这个基下的矩阵是Jn(0).

8.设A,B分别是n级,m级复矩阵，证明:矩阵方程AX-XB=0只有0解的充分必要条件是，A与B没有公共的特征值。

9.设A是复数域上n维线性空间V上的一个线性变换，如果A的谱是单的，那么与A可交换的每一个线性变换B能唯一地表示成A的一个次数不大于n的多项式.

10.A是域F上n维线性空间V上的线性变换，证明：A是幂等变换的充分必要条件是，rank(A)+
rank(I-A)=n.

11.设V是实数域上的n维线性空间，证明：V的任一线性变换A必有一个1维不变子空间或者2维不变子空间。

12.设V是复数域上的n维线性空间，A,B是V上的线性变换，且AB=BA.则A与B至少有一个公共的特征向量.

13.设A是Q上的n级非0矩阵，且A有一个零化多项式g(x)是Q上r次(r>1)不可约多项式，那么A不可对角化.如果把A看成复矩阵，则A可对角化.

14.A是域F上线性空间V上的线性变换，证明：如果A的最小多项式在域F上不可约，那么F[A]是一个域.