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高等代数习题贴

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1楼2013-11-13 10:29回复
    1.设A属于Mn(K),f1(x),f2(x)属于K[x],记f(x)=f1(x)f2(x).证明:若f1(x),f2(x)互素,则
    f(A)X=0的任一解可以唯一的表示为f1(A)X=0的一个解与f2(A)X=0的一个解的和。


    2楼2013-11-13 10:29
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      2.K[x]中一个n次(n>=1)多项式f(x)能被它的导数整除的充分必要条件是它与一个一次因式的n次幂相伴。


      3楼2013-11-13 10:29
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        3.两个n级实矩阵A与B不相似,则把它们看成复矩阵后仍然不相似。


        4楼2013-11-13 10:30
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          4.设a1,a2...an是n个不同整数,设f(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an)-1,则f(x)在Q上不可约。


          5楼2013-11-13 10:30
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            5.构造一个整系数多项式,使得它在任意Zp上可约,在Q上不可约。
            ps:这是今年丘赛某题的第一问。


            6楼2013-11-13 10:30
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              6.设V是域F上的线性空间,charF=0.证明:如果A1,A2...As是V上s个两两不同的线性变换,那么V中至少有一个向量a,使得A1a,A2a...Asa两两不同。


              7楼2013-11-13 10:30
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                7.设V是域F上的n维线性空间,设A是V上的指数为n的幂零变换.证明:V中存在一个基,使得A在这个基下的矩阵是Jn(0).


                8楼2013-11-13 10:31
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                  8.设A,B分别是n级,m级复矩阵,证明:矩阵方程AX-XB=0只有0解的充分必要条件是,A与B没有公共的特征值。


                  9楼2013-11-13 10:31
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                    9.设A是复数域上n维线性空间V上的一个线性变换,如果A的谱是单的,那么与A可交换的每一个线性变换B能唯一地表示成A的一个次数不大于n的多项式.


                    10楼2013-11-13 10:31
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                      10.A是域F上n维线性空间V上的线性变换,证明:A是幂等变换的充分必要条件是,rank(A)+
                      rank(I-A)=n.


                      11楼2013-11-13 10:31
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                        11.设V是实数域上的n维线性空间,证明:V的任一线性变换A必有一个1维不变子空间或者2维不变子空间。


                        12楼2013-11-13 10:31
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                          12.设V是复数域上的n维线性空间,A,B是V上的线性变换,且AB=BA.则A与B至少有一个公共的特征向量.


                          13楼2013-11-13 10:32
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                            13.设A是Q上的n级非0矩阵,且A有一个零化多项式g(x)是Q上r次(r>1)不可约多项式,那么A不可对角化.如果把A看成复矩阵,则A可对角化.


                            14楼2013-11-13 10:32
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                              14.A是域F上线性空间V上的线性变换,证明:如果A的最小多项式在域F上不可约,那么F[A]是一个域.


                              15楼2013-11-13 10:32
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