1.设y(x,C1,C2...Cn)是充分光滑的函数族,Ci是n个独立的任意常数,则存在一个形如F(x,y,y'...y^(n))=0的微分方程,y(x,C1,C2...Cn)是它的通解.

2.(恰当方程)xf(x^2+y^2)dx+yf(x^2+y^2)dy=0,f连续可微.

3.(可分离变量的方程)dy/dx=(x-e^(-x))/(y+e^y).

4.f(y)在|y-a|<=e内连续,f(y)=0当且仅当y=a.则在y=a上的每一点,方程dy/dx=f(y)的解是局部唯一的,当且仅当|∫(a,a+e)dy/f(y)|=+inf与|∫(a-e,a)dy/f(y)|=+inf.

5.(一阶线性微分方程)dy/dx-y/(1-x^2)=1+x,y(0)=1.

6.(Gronwall不等式)http://en.wikipedia.org/wiki/Gronwall%27s_inequality

7.考虑微分方程dy/dx+p(x)y=q(x),p,q都以w>0为周期.设r=1/w∫(0,w)p(x)dx.证明:(1)若q恒为0,则方程的任一非0解以w为周期当且仅当r=0.(2).若q不恒为0,方程有唯一w周期解当且仅当r不等于0.

8.连续函数f在R上有界,证明方程y'+y=f(x)在R上只有一个有界解.若f以w为周期,证明这个有界解也以w为周期.

9.(齐次方程)y'=(2y-x+5)/(2x-y-4).

10.(Bernoulli方程)y'=x^3y^3-xy.

11.(Riccati方程)x^2y'=x^2y^2+xy+1.

12.试把一个二阶齐次线性微分方程化为一个Riccati方程:y''+p(x)y'+q(x)y=0.

13.(积分因子法)e^xdx+(e^xcoty+2ycosy)dy=0.

14.齐次方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0有积分因子u=1/(xP+yQ).