第一章：有趣的分形龙
拿着一条细长的纸带，把它朝下的一头拿上来，与上面的一头并到一起。用一句简单的话说，就是将纸带对折。接着，把对折后的纸带再对折，又再对折，重复这样的对折几十次……

图（1.1）对折纸带的过程
然后，松开纸带，从纸带侧面看过去，如图（1.1）所示，我们得到是一条弯弯曲曲的折线。请别小看这个连小孩子都会做的游戏。从它开始，我们可以探索一连串现代科技中耳熟能详的名词：分形、混沌、蝴蝶效应、生命产生、系统科学……
我们把‘纸带对折一次’的动作，用数学的语言来表述，它对应于几何图形的一次‘迭代’。如刚才所描述的纸带‘对折’那种循环往复的‘迭代’操作，所得到的最终图形叫做中国龙，或称分形龙。图（1.2）描述了分形龙曲线的几何图形生成过程：

图（1.2）分形龙曲线的生成过程
这里需要提醒一点，图（1.2）的迭代过程，与最开始提到的‘折纸带’游戏，有那么一点不同之处：折纸带时，纸带的长度是不变的，而在迭代过程中，我们是保持初始图形中线段的两个端点（A和B）的位置固定不变。因此，所有线段加起来的总长度（对应于纸带长度）却是不断增加的。
仔细研究图（1.2）中分形龙的产生过程，可观察到如下三个有趣之处:
1. 简单的迭代，进行多次之后，产生了越来越复杂的图形；
2. 越来越复杂的图形表现出一种‘自相似性’；
3. 迭代次数较少时，曲线看起来是一维折线，此曲线随着迭代次数的增加而逐渐充满部分平面。
第一条特点一目了然，无需多言。
第二条的‘自相似性’是什么意思呢？那是说：一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的，大小不一的部分组成的。最通俗的‘自相似’例子是中国人喜欢吃的花菜，花菜的每一部分，都可以看成是与整棵花菜结构相似的‘小花菜’。分形龙曲线也具有这种‘自相似性’，从图（1.3）可以看出：分形龙可以看成是由四个更小的但形状完全一样的‘小分形龙’组成的。

图（1.3）分形龙的自相似性
图（1.3a）是分形龙原来的图形。我们将（a）图缩小二分之一，得到为原来大小一半的图（b）；然后，图形（c）包含了四个不同方向的小图形；将这4个小图按照红色箭头的方向移动后，把它们拼成如图（d）的形状，可以看出，图（d）是和原图（a）一模一样的图形。
我们再回到图（1.2），分形龙曲线的生成过程。上面说到了，这个分形龙曲线生成过程的第三条特点是有关图形维数的变化。随着迭代次数的增加，一维的折线逐渐充满部分平面，看起来好像变成了一个二维图形。
这儿谈到了几何图形的‘维数’，维数是一个严格的数学概念，我们不应该只凭感觉了，需要更多的数学论证。也就是说，我们需要仔细研究研究，当迭代的次数增加下去，趋向于无穷的时候，分形龙曲线的维数到底是多少呢？
有人，比如张三，思维比较经典，可能会说，分形龙是由一条纸带反复折叠而成的。在数学上，就是一条直线段反复折叠而成的。折叠再多的次数，图形依然是由一条一条小小的“线段”构成的，仍然是“线”，当然还是个“一维图形”喽！
但李四观察得更细致些，他反驳张三说，事情可不是那么简单。凡事涉及到了‘无限’，就可能得到一些你意料之外的结果。比如，就拿你刚才说到的‘一条一条小线段’ 来说吧，我们可以研究，当直线折叠下去时，这每条小线段的长度d（图中所示的d1，d2……dn）。如图（1.2）所示，很容易看出来，d会越来越小、越来越小。当n趋于无穷时，d会趋于0。也就是说，每一小段的长度都是0。尽管到了最后，每条小线段的长度都是0，但整条直线的长度却显然不是0。这原因就是因为有无限多个小线段加起来的缘故。事实上，如图（1.2）的迭代作下去，但是保持初始图形中线段的两个端点（A和B）的位置不变，我们可以证明，这无限多个长度为0的小线段加起来，结果的总长度不但不是0，还是趋于无穷大！因此，李四说，照我看来，当这条直线无限折叠下去时，每个小线段变成了一个点，这些点充满了分形龙图形所在的那块平面，最终的分形龙，应该等效于一个二维图形！
分形龙到底是一维图形，还是二维图形呢？正当张三和李四各执己见，争论不休时，一旁站着的王二发言了，他的观点更是不同凡响：
“这分形龙的维数，为什么一定要是你们两人所说的，或者1、或者2呢？难道它就不能是个1.5，1.8，或者是二分之三这样的分数吗？”
维数是个分数！那是什么意思啊？张三李四都没听过，其实王二也只是如此猜想而已，并不了解是否真有‘分数维’这一说。于是，这个既简单又复杂的美妙的分形龙图形，激发了他们的好奇心和求知欲。这三个大学校园结交的好朋友：学工程的张三，物理系的李四，以及学生物的王二，开始了一趟几何之旅。他们对分数维图形，也就是‘分形’，从不同的角度进行了进一步的探索。

第四章：再回到分形龙
两人一看，张三本子上画的是下面的图形：

图（4.1）：谢尔宾斯基三角形
据张三介绍说，这是另一种很简单的分形，由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Franciszek Sierpiński，1882-1969）而得名。谢尔宾斯基主要研究的是数论、集合论及拓扑学。他共出版了超过700篇的论文和50部著作，在波兰的学术界很有威望。

图（4.2）：纪念谢尔宾斯基而发行的邮票和谢尔宾斯基奖章
张三说，他原来怎么也想不通维数为什么会是一个分数？后来，谢尔宾斯基三角形的生成过程使他有点开窍！
你们看，这个分形可以用两种不同的方法产生出来：一种就是图（4.1）那种‘去掉中心’的方法：最开始的第一个图形是个涂黑了的三角形，显然是个2维的图形。我们对它做的迭代变换就是挖掉它中心的三角形，成为第二个图，然后，再继续挖下去……
“开始我想，无论怎么挖，不都应该还是好多好多2维的小三角形吗？所以图形总是2维的……”张三说：“但后来，我在网上发现有另外一种方法，也能构成谢尔宾斯基三角形……”
张三在本子上翻出另一张图给朋友们看：

图（4.3）：由曲线的迭代生成谢尔宾斯基三角形
这种方法是从图（4.3）中（1）所示的曲线开始迭代，迭代无限次之后，最后也得到谢尔宾斯基三角形。而曲线是一维的，按照张三原来那种经典的想法，谢尔宾斯基三角形好像又应该是1维图形。所以张三发现：有些图形的维数不好用原来那种经典的方式来理解，当进行无穷次迭代后，几何图形的性质发生了质变，维数也不同于原来的生成图形的维数了。看起来，谢尔宾斯基三角形的维数应该是一个介于1和2之间的数。但到底是多少呢？张三看见李四给出了一个计算分形维数的公式，便急于想要把这个分数算出来。
根据李四所解释的方法，张三从图（4.1）或图（4.3）右边的最后一个图计算分形维数。你们看：将图形按照2：1的比例缩小，然后，用3个小图放在一起，就可以构成和原图一模一样的图形。因此，张三很快地算出了谢尔宾斯基三角形的豪斯多夫维数 d = ln(3)/ln(2) ≈ 1.585。
下面，我们再回头研究分形龙的维数。第一章的图（1.3）描述了分形龙的自相似性。从图中看出：如果将分形龙曲线，尺寸缩小为原来的一半之后，得到右上图的小分形龙曲线。然后，将四个小分形龙曲线，分别旋转方向，成为如右下图的位置。最后，再按照右下图中箭头所指的方向，移动四个小分形龙曲线，便拼成了左下图的、与原来曲线一样的分形龙曲线。因此，如此可以证明，分形龙曲线的豪斯多夫维维数为2，因为根据公式（3.1），d = ln(4)/ln(2) = 2。
这儿又给出了一个具体例子：经过无穷次迭代之后，图形的性质发生了质变，豪斯多夫维从1维变成了2维。也就是说，图（4.4）中，有限次迭代中的折线，无数次折叠的结果，使折线充满了2维空间，成为图中右边的2维图形。

图（4.4）有限次迭代到无限次迭代：维数从1变成了2
有趣的是，如图（4.5）所示，分形龙图形的边界也是一个可以用迭代法产生的分形，现在我们来计算分形龙边界的豪斯多夫维。

图（4.5）：分形龙边界构成的分形
由图（4.5）可知，整个分形龙曲线的边界是由四段相似的图形组成的。这种分形的维数估算方法比较复杂一些，它的“分形维数“(d)可以通过解如下方程求得:

图（4.6）：分形龙边界由四段自相似图形构成
通过分形龙及其它几种简单分形，我们认识了分形，理解了分数维。分形几何是理解混沌概念及非线性动力学的基础，在现代科学技术中，有着广泛的应用。

第六章：分形之父的启示
最美丽，最令艺术家们着迷的分形大多数是用非线性迭代法产生的。例如，以数学家曼德勃罗命名的曼德勃罗图便是由非线性迭代方法产生的分形。
本华·曼德勃罗（Benoît B. Mandelbrot，1924－2010）算是美国数学家，虽然他是出生於波兰的立陶宛犹太家庭的后裔，但12岁时就随全家移居巴黎，之后的大半生都在美国度过。曼德勃罗是一位成衣批发商和牙医的儿子。幼年时喜爱数学，迷恋几何，后来，他的研究范围非常广泛，他研究过棉花价格、股票涨落、语言中词汇分布等等。从物理、天文、地理，到经济学、生理学……都有所涉及。他一直在IBM做研究，又曾在哈佛教经济，在耶鲁教工程，在爱因斯坦医学院教生理学。也许正是这些似乎风马牛不相干、看起来没有交集的多个领域的研究经验，使他创立了跨学科的分形几何。

图（6.1）曼德勃罗正在向公众演讲
1975年夏天，一个寂静的夜晚，曼德勃罗正在思考他在宇宙学研究领域中碰到的一种统计现象。从60年代开始，这种貌似杂乱无章、破碎不堪的统计分布现象就困惑着曼德勃罗。在人口分布、生物进化、天象地貌、金融股票中，都有它的影子。一年前，曼德勃罗针对宇宙中的恒星分布（如康托尘埃），提出了一种数学模型。用这种模型可以解释奥伯斯佯谬，而不必依赖大爆炸理论。可是，这种新的分布模型却还没有一个名正言顺、适合它的名字！这种统计模型像什么呢？有些类似在1938年时，捷克的地理和人口学家Jaromír Korčák发表的论文《两种类型统计分布》中提到过的那种现象。曼德勃罗一边冥思苦想，一边随手翻阅着儿子的拉丁文字典。突然，一个醒目的拉丁词跃入他的眼中：fractus。字典上对这个词汇的解释与曼德勃罗脑海中的想法不谋而合：“分离的、无规则的碎片”。太好了，那就是些分离的、无规则的、支离破碎的碎片！这样，“分形”（fractal）这个名词，就此诞生了！
之后，曼德勃罗又研究和描述了曼德勃罗集合。他用从支离破碎中发现的“分形之美”改变了我们的世界观，他致力于向大众介绍分形理论，使分形的研究成果广为人知。由此，他被誉为20世纪后半叶少有的影响深远广泛的科学伟人之一。1993年，身为美国科学院院士的曼德勃罗获得沃尔夫物理学奖。
三个好朋友谈到了曼德勃罗1975年出版的《大自然的分形几何学》一书，这本书为分形理论，及混沌理论，奠定了数学基础。对学术界内外的读者来说，都是一本认识分形的好书。王二像朗诵诗歌一样的念出书中的几句话：
“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮不是那么光滑，闪电传播的路径更不是直线。它们是什么呢？它们都是简单而又复杂的‘分形’ ……”
李四笑着说：“别看现在我们将曼德勃罗称为分形之父，当初他研究的那些‘零散、破碎’的现象，可不是什么热门的专业……”
难怪曼德勃罗经常自称自己是个学术界的‘游牧民族’。他长期‘躲’在一个不时髦的数学角落里，游荡跋涉在各个貌似不相干的正统学科之间狭隘的巷道中，试图从破碎里找到规律，空集中发现真理。据说曾有人对曼德勃罗的工作嗤之以鼻，认为他只不过是为‘分形’起了个名字而已。这些所谓正统数学家们仰天一笑，曰：“把他算什么家都可以，就是不能算数学家”。为什么呢？因为“翻遍他的大部头巨著，找不出一个像样的数学公式！”这些自命博学的专家们没有搞清楚，引领任何科学发展的，从来都是伟大的思想而不是繁琐的公式，即便数学也是如此。
后来，反例迅速发展成新学科，小溪逐渐融进了主流，分形几何以及与其相关的非线性理论，影响遍及科学和社会的每个角落，甚至远远超越了数学、超越了学术界的范围。中国人说：“他山之石可以攻玉”。曼德勃罗不愧为“改变人类对世界认识的里程碑式人物”。他用分形几何这块小石头，敲遍了各门学科中与其相关的难攻之玉，这也可算是分形之父的故事给我们做学问人留下的最大启迪。
著名的理论物理学家约翰·惠勒高度而精辟地评价曼德勃罗的著作：“今天，如果不了解分形，不能算是一个科学文化人”，他又说：“自然的分形几何使我们视野开阔，它的发展将导致新思想，新思想又导致新应用，新应用又导致新思想……”犹如分形本身一样，随之而产生的新思想和新应用将循环往复，层出不穷……
2010年10月14日，曼德勃罗因胰腺癌在马萨诸塞州剑桥安然逝世，享年85岁。他离世之后，法国总统萨科齐称其具有“从不被革新性的、惊世骇俗的猜想所吓退的强大而富有独创性的头脑”。

第九章：分形音乐
王二和林零手拉手在校园里散步。王二向林零介绍更多的分形知识，林零是学音乐的，说到最近听了一个音乐和数学关系的讲座，还提到“分形音乐（Fractal music）”哩！讲座从一个笑话开始：
一个男数学老师曾经问林零系里一个研究音乐理论的女老师：
“音乐里只有七个音，你为什么要准备花一生的时间去研究呢？”
音乐老师迟疑了一下，笑着反问道：
“数学不也只有十个数字，你又为何打算研究一辈子，还不一定能研究清楚呢？”
一般来说，人们不会否认艺术（如雕塑、建筑、绘画等）与数学的关系，因为它们需要一点理性的计算。但如果说到音乐与数学的关系，就不太一样了，大多数人可能很迷惘：数学与音乐有关系吗？
其实在音乐发生的最初级阶段（上溯到毕达哥拉斯时代），它就与数学有着亲密的血缘关系。 毕达哥拉斯认为“数”是世界万物的本源，包括音阶序列（五度音或八度音）。他认为音阶更多是出于推理而不完全是人耳分辨的纯粹“自然”结果……
王二却急于想了解“分形音乐”是怎么一回事，知道后才好去向两位师兄吹牛皮啊。林零看着他搔头抓耳的样子，笑了：
“正好我那天看了你们在计算机上显示的分形，还明白了曼德勃罗集是怎么产生出来的，要不然，我可听不懂那天讲座中讲的这分形音乐是个什么东西……”
林零接着说：“产生曼德勃罗集和朱利亚集图形的时候，你们不是用黑色、红色、黄色等等不同的颜色来标志不同的数学迭代性质吗？如果要产生分形音乐，也可以用你们那个方程作迭代啊……”
王二还没有摸着头脑：“对呀，在张三的程序中，是根据迭代后，当n->无穷时，Z点到原点的距离Rn的极限情况，来决定点的颜色，比如说
如果Rn<100，c为黑色；
如果100<Rn<200，c为红色；
如果200<Rn<300，c为橙色；
如果300<Rn<400，c为黄色；
…………”
林零说：“你们产生颜色，我们也可以产生音乐嘛……”
王二突然开了窍：“对了，我们涂上‘红橙黄绿蓝靛紫’，你们就弹出‘哆唻咪法嗦啦啼’……”
的确是这样，如上几章节中所说的用迭代法产生图像的过程，就可以照样用来产生音乐！比如说，如果用‘哆唻咪法嗦啦啼’来代替‘红橙黄绿蓝靛紫’，用一条时间轴代替两维复数空间中的一条线的话，一段与曼德勃罗集中某条直线相对应的‘曼德勃罗分形音乐’就产生出来了！
尽管分形音乐现在听起来可能还不是那么宏伟和美妙，但至少使人觉得有趣吧，毕竟不是由人，而是由电脑产生出来的音乐！如果再加上一些人为的努力，使将来的‘分形音乐’更逼真地模仿真正的音乐，是完全可能的。
除了曼德尔布集之外，人们还研究了许许多多其他种类的分形，并且发现，自然界的分形现象比比皆是：从漫长蜿蜒的海岸线，到人体大脑的结构，分形似乎无所不在！分形最重要的共同特征，是它们的自相似性。最开头我们说到的‘花菜’的例子，很直观的给出了‘自相似性’的定义：部分与整体形状相似，只是尺寸大小不同而已。
如前所述，分形除了‘自相似性’之外，还表现出随机性，以及非线性迭代引起的非线性畸变。
当你仔细观察曼德尔布集的图形，在多次放大的过程中，你会经常见到‘似曾相识’、却又不完全相同的图景，这里的‘似曾相识’，就是来源于分形的‘自相似性’；而‘不完全相同’，则体现了曼德尔布集图形因非线性变换而表现的貌似随机的一面。
既然分形无处不在，当然也存在于历代音乐大师们所作的音乐中。听音乐时，我们不也经常听到某个旋律反复出现，然而又变化多端，并不是只作简单重复的情况吗？也许，正是这种相似性和随机性的和谐结合，你中有我，我中有你，既相似又随机，互相渗透，穿插其中，才使音乐给了我们艺术的美感，给了我们无穷想象的空间。
人们通过计算机，分析研究了音乐大师们的作品，发现分形结构，普遍存在于经典音乐作品中，比如巴赫和贝多芬的作品。
不仅仅是类似于曼德尔布集和朱利亚集那种看起来复杂的分形存在于音乐中，更广义地说：美妙而简单的数学规律普遍存在于音乐大师们的作品中。
比如，在建筑和绘画中经常见到的黄金分割规律，也广泛存在于音乐中。
上世纪90年代，加州尔文分校的“神经生物学系记忆中心”的研究人员们，发现莫扎特的音乐对年轻孩童们，具有一种神奇的力量，可以加强注意力，提高创造力。听一段莫扎特的音乐，好比是做了一场促进协调、提高脑部功能的运动。这个结论公布之后，美国有些学校，在课堂上播放莫扎特的音乐，作为背景音乐，据说对加强课堂纪律，安抚学生情绪，起到良好作用。
莫扎特的音乐简单而纯粹，不像巴赫音乐的繁复，也不像贝多芬的使人荡气回肠。特别是莫扎特的小提琴协奏曲，单纯、明丽、幽雅而流畅。有人利用计算机研究分析了几首莫扎特的小提琴协奏曲的曲式结构，发现99%都符合，或近似符合黄金分割律。用更通俗的话来说，就是曲调的重要段落所在位置，大都在整部曲子的0.613处。此外，附属主题、音调转接、主题再现、副歌开始等等，也大都相对发生于各段的黄金分割点。
也许，莫扎特的小提琴协奏曲给人的‘简单和美’的感觉，就根源于这些简单的黄金分割？
刚才介绍过现代作曲家根据分形迭代创作的‘分形音乐’。也有人用更简单的数学规律，诸如二进制序列，各种级数，甚至一段英语文字等等，来创作音乐。用数学作曲，已经成为现代作曲家的热门课题。反正，音乐曲谱实际上也是一种编码，只要你想出一种什么方法，将数学的东西与音乐码互相转换，你就能写出一段曲子来。好听与否就是另一回事了。
其他如绘画、雕塑、建筑设计中的分形更是比比皆是，见图（9.1）。

图（9.1）：艺术中的分形

图（9.2）：用迭代法产生的‘山’
林零向王二介绍完毕她所听的“分形音乐”讲座内容，对听呆了的王二说：
“真没想到理科研究的东西也能用到如此感性的音乐和艺术上！有人说：感性让人自然，理性让人智慧，理性和感性结合才能产生完美。你知道吗？讲座开始时，我说到的那个音乐理论女老师，就是讲课的秦教授自己……”
王二很灵光，想象力十足：“那么，那个数学教师，后来就成了她的丈夫，对吧？”
林零无语，只对王二嫣然一笑。

第十章：简单之美
尽管几个简单的线性自相似的经典分形的历史，最早可追溯到十九世纪后期。但对于分形的深入研究，诸如曼德勃罗图等，却是近四十年的事。这是与计算机的飞速发展分不开的。因为，先进快速的计算技术使得大量的迭代运算可以在更短的时间内完成。图象显示技术的发展为我们提供了探索分形复杂性的方便环境。没有现代的计算机技术，人们不可能欣赏到如此美丽的曼德勃罗图和朱利亚图。
“从艺术的角度，非线性迭代生成的分形图案的确很美。”李四说：“那种美给我们以视觉的享受，分形音乐则给我们以听觉的享受。但是，科学家们所欣赏的应该是另一种美……”
“对呀！是这个世界所遵循的科学规律的内在之美。”王二抢着补充了几句：
“你们还记得吧，用计算机生成的树叶图和蕨类植物叶子是如此之相像，还有树枝、脑血管、人体……这段时间我一直在想，世界上这些看起来千变万化的一切，恐怕都是由几条简单的生成规则演化出来的哦，就像张三在计算机程序中用一个简单方程进行迭代一样，细胞分裂又分裂，迭代又迭代，一代又一代……最后就成了我们世界中的各种生物体。啊，不只是生物，还有云彩、闪电、海岸线……几条简单规律产生了大自然的一切……”
看着王二浮想联翩的神态，张三笑了：“别想象得太远了！想我们力所能及的。你刚才说到的树叶图和蕨类叶子相像这点，使我想起最近看到的一篇文章，谈到将分形用在计算机图像压缩技术方面的事情。”
计算机技术使得我们能探索分形的复杂性，分形数学又反过来造福于计算机技术。科学和技术总是相辅相成，互相推波助澜。科学始于探索，技术立足于应用。探索能发现自然之美，应用则创造人工之巧。美之事物必能找到应用的途径，而新颖的技术构思又总是能反射出理论的光辉。分形之美与电脑显示技术之新成果息息相关，相照辉映。
当年，分形的研究之所以能在众多的学科范围内引起轰动，其原因之一便是：如此复杂的结构却产生于几条简单的变换规则。复杂是一种美，简单也是一种美。科学的宗旨之一可以说就是要用简单的规律来描述复杂的大自然。复杂的形态背后可能隐藏着简单的法则。
从分形的这种‘简单表示复杂’的特性，人们很自然地想到了将分形用于作为计算机中储存、压缩图形资料的一种方式。比如象曼德勃罗集那样复杂的图形，只不过是用一个简单的方程（z = z*z + c）就能表示出来。今天，我们的的文明社会正在大阔步地迈进一个数字信息时代。数字化之后的信息需要通过媒介来记录、传送、储存。使用传统的方法储存声音和图像，数据量非常大。因此，我们才有了所谓的图像压缩技术，就是要在保证一定质量的条件下，将储存的信息量减少，减到越少越好。
那么，有哪些传统的图像储存和压缩方法呢？
在数字世界中，信息量的多少用所需要的比特数（0或1）来衡量。表达信息时所需要的比特数目越小越好。也就是说，最好能将信息“压缩”一下。也叫做给信息“编码”。比如说吧，为了要储存下图中的只有黑白颜色的科赫曲线，我们可以采取如下右边的文字说明中所列举的三种方法编码：

图（10.1）：用不同方法压缩图象的说明
第一种是最原始的方法，是将图形分成许多小格子（象素）。例如，我们可以将图（10.1）分成 256*640个小格子，也就是共163840个象素。然后，需要将这些象素所具有的信息储存起来。因为图（10.1）只是黑白图形，每一个象素的信息不是‘黑’,就是‘白’,正好对应于比特的‘0’或‘1’。这意味着，一个象素需要一个比特来表示。因此，要用这种编码方法储存整个图形，需要的比特数就等于163840。第二种方法是将图形看作诺干点和线。上面的图中共有256条直线，经由256个点逐次连成。所以，只要储存这256个点的位置就可以了。因为每个点在图中的位置需要两个整数表示，而每个整数都需要32个比特来表示。因此，这第二种编码方法需要的比特数是256*2*32=16384。显然，第二种方法比第一种方法更经济合算，因为它将信息压缩了10倍。
如果我们把这个图形用它的分形的初始值及迭代函数来编码的话，就是上图中的第三种方法。使用第三种方法，需要储存的信息只包括4次线性变换迭代以及2个初始点位置。将这些数值换算成比特数，只需要928个比特就可以了。比较原始的163840比特而言，就等于信息被压缩了100倍以上。
有关分形技术用于图像压缩，张三谈起了他自己的经验：在储存曼德勃罗集图形时，如果存为（BMP）文件的话，文件的大小为430*8千比特，这种方法就相当于上面所说的第一种方法。而如果将它存为（GIF）文件的话，文件的大小仅为30*8千比特。也就是说，在这种情形下，gif格式相对于bmp格式，信息压缩了14.3倍。
张三说：“可是gif格式也太大了啊，我用程序生成这个图形，存的信息不过是一个简单方程，几个系数，就像刚才的科赫曲线，最多几个千比特，就足够了呀。”
王二又兴奋起来：“对啦，生物体一定是把某种类似的、最优化的编码存到基因，DNA里面了……大自然往往做得比人工更为精致和巧妙……”
李四却很感兴趣分形图像压缩，说是曾经做过用傅立叶变换压缩声音信号的问题，先和两位一起复习复习。
张三附合：“对，我们先不管图像信号，声音信号的处理更基本和简单一些。”
其实,不论是声音还是图像信号，最原始的信息都可看作是强度关于时间（或空间）的函数。如我们上面说到的，一个固定的黑白图像可用在每一个像素位置的光强度（0或1）表示，一个原始的声音信息则用在一系列的时间点测量的声音强度来表示。所以，最原始的储存方法就是：把声音的强度按不同时间点列成一个表储存起来，比如说，转换成电信号保存到磁带上。以后便可以将磁带上的数值读出来，再转换成声音信号。
这种储存声音的原始方法类似于刚才谈到图像编码的第一种方法。可以说是完整的储存方法，但它并不总是最好的，也不是最有效的方法。
声音的信号除了随时间而变的强弱之外，还有一个很重要的特点，就是它的频率。频率也是声波中给我们大脑更深刻印象的东西。学唱歌时首先不就是学“多来米法硕”吗，那描述的就是声音中不同的主频率。
刚说到“多来米法硕”，正好林零和一伙音乐系的女学生在旁边走过，听见这句话便好奇地站下来继续听。
既然频率在声音中是如此重要，人们自然想到储存声音应该储存它的频率。对啦，作曲家们就很聪明，他们将所作的曲子用乐谱的形式记下来，那不就是记录的频率吗？傅立叶变换呢，则是科学家工程师们所使用的乐谱，是由法国数学家在1822年创立的。比之音乐中的乐谱，傅立叶频谱有过之而无不及，它把声音信息中包含的所有频率分量都找了出来。这个过程听起来有点繁琐，似乎画蛇添足！不过，傅立叶变换在数学、物理、工程各方面都得到广泛应用，是信息处理中使用得最多的变换，被誉为信息处理技术上一个重要的里程碑。
储存频谱的优点是储存的信息量少。当我们按下电子琴的中心C按键时，电子琴发出一个‘多’的声音。将这个声音用强度时间表来储存，每1毫秒存一个强度值，1分中就需要存60000个实数，需用3840千比特。如果存它的频谱，暂时不考虑泛音的话，只需要存这个频率的数值和强度，2个实数就可以了，这不就等于是把信息量“压缩”了几千倍吗？即使考虑还得存泛音的数据，也可以达到几百倍的压缩率吧。

一个女孩有些迷惑不解：“一个‘多’弹一分钟，这么长啊？”
大家笑了起来，笑得女孩有些不好意思。可李四说，这个疑问问到了点子上哦！傅立叶变换只记下了频率信号，完全没有时间的信息，是不行的。它就像是用一把频率固定、但时间无限长的尺子来量东西，这把尺太长了！所以，在实际上使用的是如图（10.2）所示的‘窗口傅立叶变换’，把尺子按时间分成一段一段的。

图（10.2）对三段不同频率的正弦函数组成的图形的窗口傅立叶变换结果
林零很有悟性，对王二说：“这个窗口傅立叶变换的道理和音乐上的曲谱很像啊。既有时间，也有频率……但是……这些和你们谈论的分形又有什么关系呢？”
王二向她解释了一下刚才谈到的分形用于图像压缩之事。
刚才说到的是对声音信息的傅立叶变换处理。回到图像编码领域，原理也是类似的，只不过需要将时间用二维空间来代替。
对信号的傅立叶变换压缩，利用的是信号的频率特征。用分形的原理进行图像压缩，则是利用图形的自相似性。
分形图象压缩的方法（也称迭代函数系统IFS方法）是美国佐治亚理工学院的巴恩斯利教授首创的。但分形图像压缩技术至今仍然不够成熟。尽管目前已有商品化的计算机软件，但仍有许多问题尚待解决。分形图像压缩的解码速度很快，但编码速度慢，比较适合一次写入、多次读出的文档。
正是：“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。”

第十一章：拉普拉斯妖
“很多文章中，分形总是和混沌连在一起，现在，我对分形好像学到了不少，但却还完全不知道混沌是什么啊？你们知道吗？”王二问两位师兄。
张三也说：“分形艺术的确太奇妙了，不过我还没有看出来它和我们学的科学有什么关系啊？”
李四快毕业了，正在准备考某某教授的研究生，说那个X教授做的课题与混沌有关。因此，最近读了一些混沌理论的书和文章。
要用一个简单的方法来讲清楚‘混沌理论’是很困难的。不过，我们的老祖宗早就使用了‘混沌’这个词来描述和表达中国古代人的宇宙观：
“天地混沌如鸡子，盘古生其中。”
盘古开天地是我们十分熟悉的神话，无愧于中国几千年的文明，我们的祖先早就认识到我们有序的文明社会是诞生于混沌之中：“天地混沌如鸡子 ”，有点像现代物理学所描述的‘宇宙大爆炸’后的世界。
不过, ‘盘古开天地’的故事只说了一半，说的是有关我们的过去的那一半。就算宇宙的过去是天地混沌一片吧。宇宙的未来如何呢？预测未来总是比探讨过去更具诱惑力和实用性。不是吗？气象预报让你能未雨绸缪； 预测股市的走向可能使你发大财；研究未来的学者文人颇受人尊重；还有那些张大师、李大师之流，也得靠自称有先知先觉的功能，来蒙蔽人们，招摇撞骗。
我们将要解释的‘混沌理论’，与预测未来有点关系。
其实，科学的目的之一就是要解释世界，放眼未来。问题是这些“未来事件”在什么条件下可以被预测？在多大程度上可以被预测？先见之明者能有多远的眼光？预测的准确性又如何？常言道: “人有旦夕祸福，天有不测风云” ，利用今后日新月异的科学技术，是否就能完全预知将要发生的“旦夕祸福”与“不测风云”，及未来的一切了呢？这一类有关“将来”的问题，用如今学术的语言来说，叫做：“研究一个动力系统的长期行为”。
1975年，美国数学家约克将“混沌”这个词赋予科学的定义，用以描述某些系统长时期观察时表现的奇异行为。因此，这里我们将讨论的混沌理论，有别于通常意义的“混沌”，有别于盘古开天地时的混沌。它探索的课题， 与“世界的可知/不可知”这类哲学问题有关……
张三见李四好像准备要夸夸其谈地大谈哲学，耐不住了，说：“我可看不出来，你讲的这些混沌哲学，与我们了解的分形有什么关系呢？”
李四叫他别急，慢慢听下去吧。
刚才我们不是说过，混沌理论是研究一个动力系统的长期行为吗？你们应该还记得曼德勃罗图是怎么画出来的吧，那时我们考虑的不就是一个非线性方程，在进行无限次迭代后，结果产生的不同行为吗？对于不同的初始值，无限次迭代后结果将不一样，有些跑到无穷远处，有些保持有限数值。在分形中的“无限次迭代后的行为”，就相当于这儿混沌理论中所说的“长期行为”啊！
两个朋友有些开窍，王二兴奋起来：“啊，原来是这么回事！对，‘无限次迭代’就是生物中的代代相传，有继承自相似性的遗传，也有因随机偶然因素引起的变异，一代又一代绵延下去……”
张三也有所领悟：“那么，我在写分形程序时所用的迭代方程，就是相应于混沌理论中所说的物理系统遵循的规律了，比如说，牛顿定律？从牛顿定律也可能得出混沌吗……对了，听说有个三体问题……”
对啊！这就是为什么我们还得扯到牛顿那个时代，还得扯到哲学，李四得意洋洋地继续讲下去。
我们的世界到底是决定的，还是非决定的？是可预测的，还是不可预测的？这一直是令古今中外的学者、哲人们困惑、争论的基本问题。三百多年前牛顿力学的诞生是科学史上的一个重要的里程碑。牛顿主义的因果律和机械决定论认为：世界是可以精确预测的。根据牛顿物理学，宇宙似乎可以被想象成一个巨大的机器，其中的每种事件都是有序的、规则的及可预测的。牛顿三大定律似乎放之四海而皆准，用于万物无不可。运动方程有了，只要初始条件给定了，物体的运动轨迹则应该完全可知、可预测，直到宇宙毁灭的那一天。
可以想象，一幅决定论的、简单的、井井有条的、可预测的、似乎已经完美无缺的理论体系和世界图景是何等诱人。它使当年的科学界欢呼雀跃、陶醉不已。以至于连神学界主宰一切的上帝之类也想来插上一手。因此，牛顿力学的时代，宿命论、神秘主义甚嚣一时。天才的牛顿也未能免俗，认为造物主实在伟大非凡，造出的世界精妙绝伦、天衣无缝。因此，晚年的牛顿潜心研究神学。
牛顿走了，拉普拉斯来了。拉普拉斯也醉心牛顿力学完美的理论体系，他把万有引力定律应用到整个太阳系，研究太阳系及其它天体的稳定性问题，被誉为“天体力学之父”。不过，和牛顿不一样，拉普拉斯并不将功劳归之于上帝，而是把上帝赶出了宇宙。
拿破仑看过拉普拉斯所写的《天体力学》一书之后，奇怪其中为何只字未提上帝？拉普拉斯自豪地说了一句话，令拿破仑目瞪口呆。拉普拉斯说：“我不需要上帝这个假设！”。

图(11.1)宣称决定论的拉普拉斯

拉普拉斯不信上帝，却仍然坚信决定论。他不需要假设上帝存在而造出了宇宙，但他却假设有某个‘智能者’，后人称之为‘拉普拉斯妖’的东西，能完全计算出宇宙的过去和未来。当年的阿基米德对国王说：“给我一个支点，我能推动地球！”。拉普拉斯仿效阿基米德的口气，对世人立下这样的豪言壮语：
“假设能知道宇宙中每个原子现在的确切位置和动量，‘智能者’便能根据牛顿定律，计算出宇宙中事件的整个过程！计算结果中，过去和未来都将一目了然！”
过去和未来，尽在拉普拉斯妖的掌控之中，这代表了拉普拉斯信奉的决定论哲学。
不可否认, 决定论的牛顿力学迄今为止取得了、也必将继续取得辉煌的成就。它是人类揭开宇宙奥秘，寻找大自然秩序的漫漫长途上的第一个伟大的里程碑。它曾用简单而精确的计算结果, 预测了海王星、冥王星的存在及其它天体的运动; 又以普适而优美的数学表述，对各种地面物体的复杂现象做出了统一的解释。借助牛顿力学, 人类发明了各类机械设备、设计了各种运载火箭, 并把航天飞机送到了宇宙空间。纵观周围环绕我们的事物: 穿梭于云层里的飞机、高速公路上飞驶的汽车、城市中高耸入云的摩天大楼、遍布全球的铁路桥梁, 无一不包含着牛顿力学的功劳。
继拉普拉斯之后，19世纪物理学发现的不可逆过程、熵增加定律等，已经使得拉普拉斯妖的预言成为不可能。再以后，量子力学中的不确定原理，以及混沌理论所展示的、确定性系统出现内在“随机过程”的可能性，更是给了决定论致命的一击。
“无可奈何花落去, 似曾相识燕归来” 。任何理论都不无例外地有其局限性。20世纪初期的量子物理和相对论的发展打破了经典力学的天真。相对论挑战了牛顿的绝对时空观, 量子力学则质疑微观世界的物理因果律。根据量子力学中海森堡的测不准原理，在同一时刻，你不可能同时获知某个粒子的精确位置和它的精确动量。你也不能分两步来测量，因为对于微观世界而言，测量本身就已经改变了被测量物的状态。所以拉普拉斯所需要的数据是不可能精确得到的，自然也不可能存在可以预知一切的物理学理论。
量子力学的规律揭示了微观世界的不可预测性，混沌理论则从根本上否定了事件的确定性，把非决定论推至成熟。混沌现象表明，避开微观世界的量子效应不说, 即使在只遵循牛顿定律的、通常尺度下的、完全决定论的系统中，也可以出现随机的行为。除了广泛存在的外在随机性之外，确定论系统本身也普遍具有内在的随机性。也就是说, 混沌能产生有序，有序中也能产生随机的、不可预测的混沌结果。即使某些决定的系统，也表现出复杂的、奇异的、非决定的、不同于经典理论可预测的那种长期行为。
从另一个角度说，混沌理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，使得决定论和概率论, 这两大长期对立，互不相容, 对于统一的自然界的描述体系之间的鸿沟正在逐步消除。有人将混沌理论与相对论、量子力学同列为二十世纪的最伟大的三次科学革命, 认为牛顿力学的建立标志着科学理论的开端, 而包括相对论、量子物理、混沌理论三大革命的完成, 则象征着科学理论的成熟。