《无处单调又处处连续的函数》，请

别沉啊，有人吗

好像有函数处处连续而且处处不可导，好像叫什么威尔函数，属于病态函数列。

是我抛砖引玉了吗？感觉上的小问题却得到如此复杂的回答

我给楼主构造一个函数x*sin（1/x），这个函数在0点的极限是0，但是这个函数在0点附近是上上下下的，一秒钟上下几十万的感觉。没法单调。你看看是不是。

而且你这个想法有点太随意了，在一个区间内单调是一个很苛刻的条件。我们只能说能找到单调子列，而没办法去找单调区间，那得要求函数本身是个单调函数才行。

考虑当0<=x<=1/2时f_{0}(x)=(1/2)-x，当-1/2<=x<=0时有f_{0}(x)=(1/2)+x，将其以1为周期延拓到实数轴上记为g_{0}，类似地定义[-1/2，-1/2+(1/4)^n]上的函数f_{n}，其在[-1/2，-1/2+(1/2)(1/4)^n]上为(1/2)^(n+1)(x+(1/2))，在[-1/2+(1/2)(1/4)^n，-1/2+(1/4)^n]上为-(1/2)^(n+1)(x+((-1/2)+(1/4)^n))，然后以(1/4)^n为周期延拓到实数轴上成为g_{n}(x)，考虑h(x)=sigma g_{n}，由M判别法知它连续，把g_{n}中线性函数部分对应的区间称为线性区间，注意到g_{n}'=1或-1，利用这个性质可以证明h无处单调且无处可微

可以试试xsin(1/x²)在x=0处的情况

函数有极限不代表一定单调
同理数列局部有界从定义就可以看出|xn-A|中xn是可以围绕A上下波动的爸
🐕好像记得是这样