首先介绍一下书，是《Morse Theory and Floer Homology》，作者是Audin。书比较新，是14年的书，介绍morse理论和Floer同调（废话）。给所有学过微积分和线性代数的人推荐

然后是最深刻的感受——现代数学的复杂程度。读者可以回想一下，你看过的所有书里面最长的证明有多长，这样你就能明白当我看到两节20多个引理+定理（约40页）就证了一个满射时的崩溃心情...从一般教材的（动机→）定义→性质→定理→例子这种结构里面跳脱开来，才能真正感受到这个世纪的数学已经复杂到了一个什么程度。在我把所有的引理和定理整理完之后再一回味，隐约有一种仰望着神的感觉。
不过从学习者的角度来说，我觉得这是有益的。如果说普通的教材带给读者的愉悦程度是糖水，那么它大概就是Big麻（

8.5和8.6所有定理和引理的逻辑顺序（如图，最左边的正则点结构的定理和中间的pCR（微扰的柯西-黎曼方程，做了一个不太常见的简写）仍没有被证明。）

然后我想对数学是“发明的”还是“发现的”给出一个回答。答案很简单：都有。
我们从流形说起。我们可以在流形上定义什么？读者首先想到的大概会是向量场、联络形式、切丛（微分几何的），n维链群、同调（上同调）、相对同伦群（拓扑的）这些吧。应该很少很少会有人去想定义流形上的一个morse函数，再来研究它的临界点有什么性质。

不过确实有人这样做了（第一个当然应该是Morse），并且很自然的给出了很多漂亮的性质，建立出一个Morse同调，并且带出了庞加莱对偶（我不清楚是不是还有其他的应用，欢迎补充）。就这个意义上来说，数学是发现的。

但就Floer同调的意义上来说，数学是发明的。整个理论的图景我还不是太清楚，但我知道的一点是Floer同调是模仿morse同调建立起来的，而这种建立的复杂性由上所述，是非常可怕的。仅举一例：证明我们要研究的空间（具体的说是简单曲线构成的解空间）是有限维的这一件事，就用了全书20%的篇幅。这是人的奇迹，数学家用不可思议的智力和汗水证明了一个又一个看起来非常不可思议强的结论，搭起了Floer同调的大厦。我现在能明白写在第一页的话了：For the glory！

再之后是一个发现：Floer同调和J-holomorphic curve的关系。具体地说是什么关系对现在的我来说还是比较难的一件事，这也是我之后一个学期打算要做的工作。不过我只是随便翻了两页《J-holomorphic curve and symplectic topology》（挺厚的书，有点难）就看到好几个证过的定理之后，我就确信了这一点（非常暧昧的关系！）

最后（不是本贴的最后）我要感谢一下熊子（全名是奶油熊子炖菜），她的歌声陪伴我度过了整个暑假。这就要说到一首歌《Yo Quiero Vivir》。虽然我不是第一次做歌词翻译了，但这次确实是第一次做西语歌的翻译，还是挺有成就感的。（虽然我的翻译发在评论区然后沉了，然后被别人上传了，与mafu的歌形成鲜明对比但是）能帮到熊子，我很开心。

贴一个在证明过程中看到的简单的数学分析题：若f''(x)＞δ^2*f(x)，则或者f→+∞，或者‖f‖＜C*exp(-δx)

前天看了一个东西，今天再一回想，我就乐了：有一个定理说的是，给定一个辛流形（M，ω），一个2阶同调群H2(M,Z)，一个常数c＞0，那么满足ω(A)＜c的A总是有限的。这就很容易让人想到轨道量子化了。
之后更有趣的是，他把所有满足条件的c中最大的那个数记成了h_bar，真是非常暧昧的记号

rua～
暂时可以回答出一些了。
从基础结构开始说起，F（Floer同调，下文同）处理的是一个开流形R*S1，J（J-holomorphic curve)处理的是（一般是紧的）黎曼面映射到某个紧的辛流形上。对于映射来说有许多一致和相似的地方，比如说simple和multiple的概念，比如说Similarity Principle，再比如说用到的Fredholm的一大堆理论

再之后就是关于Rescaling。
为什么McDuff会说F相较于J是比较简单的，我想就在于此。在F里面因为实际上只对R上的一个序列做rescaling也就是乘上一个趋于0的ε_ν，但是在J这边，对于一个球面来说这就完全不一样了。我们需要引入一族（之后变成n族）Mobius变换来表示这个Rescaling，并且...

说的有点乱了，虽然共同之处是rescaling，但是J真正的interesting在于bubble phenomenon和关于energy的处理。在引入的时候的第一个rescaling是一套花里胡哨的变换（hhh）后来在处理问题的时候改用了Mobius变换。沿着bubble这条线，我们得到了stable map（0 genus with n marked points over T)，得到了evaluation map，得到了simple map，这就离GW不变量靠近了一步。