自己顶，坐等大神

假如无理数和有理数“一样多”，那么就能找到无理数和有理数之间的一个一一对应关系，即每个各异的无理数对应且对应唯一一个有理数。由于有理数和自然数“一样多”，那么根据假设，无理数和自然数“一样多”。因此，我们可以把自然数把全体无理数标号。
下面构造这样一个无理数：
小数点后第一位与第一个无理数的十分位不同，第二位和第二个无理数的百分位不同，第三位和第三个无理数的千分位不同，以此类推。
这样构造出的无理数肯定不在上述“被标号”的无理数集合中。这与假设矛盾。

在数轴上取一个点，这个点表示的数是有理数的概率为0

无穷个元素的集合说“多少”是不太恰当的，但我们一般用集合的“基数”或“势”来刻画这种“多少”，正如楼上碱基所说（
数学的概念不能用主观意识判断，那是不理性的，所以必须学会一些数学的公理化语言.

有理数和无理数都具有稠密性，不能再用自然数的性质来类比了吧。

任意两个无理数中间有无穷多个有理数，任意两个有理数中间有无穷多个无理数。
区别就在于，前者的无穷的势，低于后者无穷的势；前者是可列无穷，后者是不可列无穷。
总结：无穷的区别，导致二者量的区别。

若无理数集可数则实数集可数，矛盾

两个有理数之间必然有无穷多个有理数和无穷多个无理数，你得比较这两个无穷的大小才能验证你的逻辑。

你想有理数是可以按照一定规则排序出来的，就比如【0,1】区间上可以排列为{0,1,1/2,1/3，2/3,1/4,2/4,3/4……}按照这种每次分母加一就把它所有可能的分子列出来（可能有重复的数），这就是对可数集合的刻画，能按照某种顺序排列得到一个含有所有有理数的序列，但是无理数是不能按照一定顺序把所有无理数都排列成一个有规律的序列的，在这种意义上，无理数是要多于有理数的。

无穷也有大小

对有限成立的结论对无限不一定成立

不要轻易地用有限的方式思考无限
我们先考虑什么叫“个数相同”：两个集合中的元素能找到一个双射（一一对应），就是所谓“个数相同”（等势）
我们不难得知：自然数和有理数是等势的（见图一）
而自然数与实数是不等势的（见图二）
那么不难得知有理数与实数不等势，而实数比自然数多了什么呢？无理数。
如果无理数与自然数等势，也就是和自然数等势，那么用奇数2k-1双射至有理数，偶数2k双射至无理数，岂不是自然数和实数等势？矛盾
故有理数与无理数不等势。

首先你要明白怎么比较两个无穷的大小的方法,否则谈论比较两个无穷集元素多少是没有意义的
现在我们来看一个例子,自然数和正整数哪个多?
直观的感觉是自然数比正整数多一个0,所以是自然数多,然而实际上这样比较是不对的
我们来回忆一下比如有两篮苹果,一篮5个,另一篮7个,我们是怎样比较这两个篮子苹果的多少的呢,我们对篮子里面的苹果编号,编出来1号就把这个编号是1的苹果拿出去,然后下一个苹果编为2号,一直编到5号的时候,发现第一个篮子苹果取完了,而第二个可以一直编到7号所以第二个篮子的苹果多
回到前一个问题,我们把0叫做自然数集合的1号元素,1叫做2号元素,依次类推,最终发现每一个自然数都能用正整数编号,说明自然数和正整数一样多,我们把自然数叫做可列集,也把每一个和自然数一样多的集合都叫做可列集,可以证明可列集是最小的无穷集
用类似的方法,我们可以证明有理数和自然数一样多,也就是有理数是可列集,而实数是不可列的集合,因此无理数不可列,它比有理数要多