形而上者谓之道，形而下者谓之器。这是初学时王老师引用的易经中的一句话，太多的东西包含在里面。
作为标准的工科生，学习的是高等数学，而数学分析更加偏重证明，相当于告诉你为什么定理是成立的！
但这不代表练习不重要，因为抽象的“道”是无处不在的，它是包含在具体的题目中的，所以学数学必须得做题

一、关于数列的极限
1.和数列有关的东西
数列，简单来说就是由一系列数按顺序进行排列而组成的集合。用函数来表示可以是这样的，若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称f:N+→R或f(n),n属于N+为数列。当然也可以使用列举的形式来表示数列{An}=A1，A2，A3......An......
其中An称为数列的通项
数列总体可以分为有限数列和无限数列。这个很容易理解无需赘述，另外高中时学习的两个非常特殊的数列：等差和等比，这里也不多说了，一般来说研究的对象当然是无限数列
大家比较关注的一个问题，是否所有数列都有通项公式？答案当然是否定的。事实上所谓的通项公式，可以简单理解成这个数列的表达式，也就是说数列的第n项到底是多少，可以从通项公式一眼就能算出。
然而，有些递推数列没有通项公式，递推数列就是第n项的值需要通过第n项的前一项（即第n-1项）来得出，因此没法直接写出第n项的通项公式，一般可以通过n-1次插值来求得。当然并不是所有递推数列都没有通项公式，比如著名的斐波那契数列就有通项公式。

2.数列的极限
这一块，事实上在高等数学里面也有过比较详细的说明了，定义是标准的ε-δ语言：
设{An}为数列，a为确定的常数，∀ε>0，∃正整数N，使得n＞N时，|An-a|<ε，则称a为{An}的极限，或称数列{An}收敛于a
这个定义无需多说，但要真正理解起来，恐怕没有想象中那么容易（大神除外），事实上，不论是数学专业的人也好，还是非数学专业的人也罢，但凡读过大学的人，只要是理工科类，即便是大专，基本上都会学习高等数学，而其中极限这一块就是必学内容。
但为何又要说这一块想真正理解好也不容易？表面上看，极限无非就是一种逼近思想，但真正关注的也许并不是极限值a本身，而是数列的项在无穷增加的过程中，数列项值的变化情况，到底是一种什么趋势？是逼近一个确定的数还是无限增大？如何描述？ε-δ语言，只有这套语言体系能够非常精确的描述。
其实这个语言理解也不难，无非就是说随着数列项数无限增大，数列的值会无限接近于一个常数，这就说明有极限或者收敛，反之没有极限或者发散。那怎么描述无限接近呢？
一般用|An-a|的值来刻画数列第n项与常数a的距离，因为是绝对值，所以这就代表第n项与常数的逼近程度，但是毕竟是要看An与a有多接近，那最最接近当然就是0了（暂不讨论），但那样An就等于a了，这就没法体现上一段说的，我们真正关注的是数列变化的趋势，而不是极限值本身。因此就要借助第三个数，而这个ε，它可以是任意的数，但为了刻画绝对值An-a，一般都取ε为正。另外An是一个变数，因为随着项数n增大，An的值也会随着变化，这里还要再借助一个数N，一般也是取N为正整数，这个N是与数列的项数n有关，因此必须是正整数。现在所有条件都具备了，那么来看最关键的这一个不等式：
|An-a|<ε，这说明了什么呢？说明不论ε有多小，An-a的绝对值可以比它更小！！
因为ε的取值是任意的，也就是要多么小有多么小，然而一旦确定下来，比如取ε=1*10^-22，够小了吧，没问题，只需令N=1*10^4，则只要n>N，上面这个不等式就可以成立，也就是说只要数列An从第N+1项起，后面所有An-a的绝对值都是小于ε的。
从几何上看，

ε和N这两个数是息息相关的，ε的作用上面也已说明，是为了衡量、刻画An-a的接近程度，因此ε的取值一定是任意性的。理论上ε当然可以任意小，但还是要强调一下，个人认为，这里不能简单地把任意小与无穷小划等号。任意小的作用是刻画An-a的值，所以任意小一经选定就暂时被“确定”了下来，是一个明确的数。而无穷小并不是具体的数，而是一种趋势，不能用具体的数和无穷小来进行比较。当然无穷小也是有很多种的，这里就不展开说。
另外ε确定后，就要找到能使|An-a|<ε不等式成立的An，也就是要找到这个项数具体是多少，这里就用N来刻画。所以说ε和N是相关的，不是独立存在的。
从几何上看，n＞N时|An-a|＜ε成立，但数列是无限的，也就是第N项后面还有无穷多项，而从第一项到第N项必然是有限的，意味着在邻域U（a，ε）外，数列的项只有有限个（N）。

不过需要说明的是，弄懂了定义和熟练完成习题是两回事。拿一般的证明题来说，ε是任意小的正数，题目是要找到能使不等式|An-a|<ε成立的N，但往往数列的通项不是简单的单分数或单项式，可能是比较复杂的式子，如果不找到一个合适的ε，那N的值也没办法快速准确的找到。
用数学分析教材第二章第一节的例2来说明：

证明这个数列，当n→∞时，数列收敛于0。
这里主要讨论的是为什么N要取[1/(ε^1/α)]？到底是怎么得到只要令N=它，下面的不等式就可以成立。
根据题干，α＞0。由于是数列，则n的取值只能是正整数，不难得到n^α一定是

由α＞0和n∈N+可知，n^α必定大于0并且单调递增，显然当n→∞时，n^α也→∞，那么1/(n^α)当然是→0的。
N=[1/(ε^1/α)]+1，这里中括号这个符号是取整的意思，[x]表示不超过x的最大整数，如[2.9]=2，[4.33287]=4。N取整后再＋1，实际上是为了保证一定比N大，方便后面n＞N作具体的计算，也就是这些取整+1的操作，无外乎都是为了当n＞N时，一定有|An-A|＜ε而已。因为数列的项都是整数，所以取整再+1也是为了更加方便的找到N罢了。
回到题目，按定义，对∀ε＞0，∃N，当n＞N时，1/(n^α)＜ε。
1/(n^α)＜ε，不等式两边同乘n^α，有1＜ε*n^α，不等式两边再同时除以ε，有1/ε＜n^α，整理后得n^α＞1/ε。有一个细节，在上述计算过程中，由于n^α、ε均为正数，因此不等号方向不变，这里也是容易出错的地方。到了这一步，不等式两边再同时开α次方根，得n＞1/(ε^1/α)。此时可以发现，不等式右边不就是我们要找的N吗？直接取N=1/(ε^1/α)，然后取整+1，即可完成证明。
因此，寻找数列的极限，实质上在熟悉定义之后，要做的就是能够准确找到n和ε的关系，然后令n＞N就可以完成证明。但是，这中间的过程，其实是要花大量时间去练习的，俗话说得好，好记性不如烂笔头，人说到底还是视觉动物，也是记忆生物，只有自己动手过一遍才能印象深刻，就好比读万卷书不够，还要行万里路方知何为真！

插一个二项式的内容，因为二项式实在是太重要了，二项式用到了组合，涉及阶乘这一基本运算，另外还可以用二项式来证明伯努利不等式的成立。
二项式通项：

这是二项式的通项，第k+1项就是用上式进行计算快速得出
二项式展开求和：

上式为二项式的展开，不难看出二项式展开后总共是有n+1个单项式的，然后用Σ逐一求和
另外需要注意的是，在中学阶段，二项式的幂n、系数a和b，都是整数，实际上广义二项式，n可以是实数，甚至a和b也可以是实数

3.数列极限的一些性质
除了ε-δ定义外，还有偏向几何层面的定义：∀ε＞0，如果在给定数a的邻域U（a，ε）之外，数列{An}至多只有有限项，则称数列{An}收敛于极限a。

由上图可知，选定ε后，数列第N项之后的项都落在邻域U（a，ε）之内，根据数列无穷的特性，必定有无限项，而邻域外只能是有限项（N项）。当然ε越小，落在邻域外的项就越多，但只要ε不为0，始终只能是有限项在邻域外

教材上的原文，定义如下：若lim n→∞ an=0，则称{an}为无穷小数列。
延伸出的定理：数列{an}收敛于a的充要条件是{an-a}为无穷小数列。
应该算很直观的了，首先定义了无穷小数列，即n趋于∞时，an趋于0，这个没什么好说的，比如an=1/n，an=1/（n^2）等数列，当n趋于∞时，an当然是趋于0的。
那么要判断数列an是否以a为极限，只需判断an-a是否为无穷小数列，这其实也就是判断an是否收敛于a，只不过换了种说法，因为无穷小，an和a之间的差可以无限小，无限接近于0，只要n无限变大，an就无限接近于a。
另外几个特性：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性以及子数列。
唯一性，就是说数列要么发散，要么收敛于唯一的数a，不可能同时收敛于a或b（a≠b）。
证明唯一性就用到了极限的几何定义。

利用反证法，倘若数列{an}同时收敛于a和b，a≠b，则可以取ε=|b-a|/2，根据上图不难看出，按极限的几何定义，如果极限收敛于a，则在U（a，ε）之外至多只有{an}中的有限项，而U（a，ε）之内有{an}中的无限项。同理，如果收敛于b，则在U（b，ε）之外至多只有{an}中的有限项，而U（b，ε）之内有{an}中的无限项。而上图已经非常直观的说明了，这是自相矛盾的，因此数列的极限必定是唯一的。

有界性
收敛数列必定有界，但是有界数列不一定收敛，比如数列{（-1）^n}就是一个反例。
证明，设数列an，当n→∞时an=a。取ε=1，存在正数N，对任意n＞N，有|an-a|＜1，即a-1＜an＜a+1。
记M=max{|a1|，|a2|，......，|aN|，|aN+1|，......，|a-1|，an，|a+1|}，则对任意正整数n都有|an|≤M。
这一块这样理解可能更直观，实际上可以把M能取到的值分成两部分，第一部分是数列从a1到aN项，第二部分是aN+1到an项外加|a+1|,这样就一目了然了，由于a1到aN的项数是有限的，有限数列必有界，而aN+1到an虽然是无限数列，但根据定义证明了这一部分是小于a+1的，这样令M=这里面的最大值，就保证了整个数列an≤M。
保号性
若lim n→∞ an=a，a＞0（或a＜0），对任意a'∈（0，a）[或a'∈（a，0）]，存在正数N，使得当n＞N时有an＞a'（或an＜a'）。
证明，设a＞0，取ε=a-a'（ε＞0），则存在正数N，使得当n＞N时有an＞a'（a'=a-ε），证毕。
这个证明是教材的原文，说实话，一开始我是没太看懂，但后面结合几何意义再来看的话，就容易理解多了

通过上图，再来看保号性这个概念，实际上讲的是这么一件事情：根据极限的几何定义，只要数列收敛于a，那么对于可以任意小的正数ε，都能找到正整数N，使得数列从n＞N开始，之后的每一项都落在以a为邻域的U（a；ε）之内，也即a-ε＜an＜a+ε。此时，对于（0，a）这个区间内任意一个数a'，都可以再次找到一个N，使得n＞N时，an＞a'。
那么这又意味着什么呢？这实际上表明的是数列在靠近极限a附近的一个变化情况，这个保号是一个局部性质，并不针对数列整体，它一定是一个局部的性质。也即是说，假设极限a是大于0的，那么根据保号性，当数列从n＞N项起，后面的an也都是大于0的，也就是进入极限范围附近开始，an总是跟极限保持符号一致，不会突然变号，或者说至少局部上保持了“整体一致性”。

保不等式性
保不等式性，在其他教材也叫保序性，实际上应该是指的同样一个事实（就初步学习来看，这两个性质实际上是一回事）。具体指的是，假设an和bn都是收敛数列，若存在正数N0，使得当n＞N0时有an≤bn，则lim n→∞ an ≤ lim n→∞ bn。也就是说只要两个数列an和bn都收敛，极限分别是a和b，且从某一项N0起，n＞N0后的每一项都有an≤bn，那么a一定也≤b。
迫敛性
迫敛性，在其他教材也叫夹逼性，也是指的同一个事实。
如果数列an和bn都以a为极限，数列cn满足，存在正数N0，当n＞N0时有an≤cn≤bn，则数列cn收敛，极限也为a。

数列极限的四则运算
两个数列an和bn，两个数列和/差的极限，等于两个数列极限的和/差。
同样，两个数列乘积的极限，等于两个数列极限的乘积。逆运算，两个数列商的极限，等于数列极限的商，当然除数不能为0，这里可以把商当成积，也就是乘以除数的倒数。
证明：若an与bn均为收敛数列，则lim n→∞（an·bn）=（lim n→∞ an）·（lim n→∞ bn）
设数列an和bn分别收敛于a和b，则lim n→∞（an·bn）=（lim n→∞ an）·（lim n→∞ bn）=a·b
根据极限的定义，∀ε＞0，分别彐正数N1和N2，使得
当n＞N1，|an-a|＜ε
当n＞N2，|bn-b|＜ε
令N=max{N1，N2}，则当n＞N时，上面两个不等式都能成立
那么证明lim n→∞（an·bn）=ab，只需证明|an·bn-ab|＜ε即可
|an·bn-ab|=|（an-a）bn+a（bn-b）|≤|an-a|·|bn|+|a|·|bn-b|。因为收敛数列必定有界，彐正数M，对一切n有|bn|＜M，则当n＞N时，以上不等式可得|an·bn-ab|＜（M+|a|）ε，又因为ε可任意小，从而得|an·bn-ab|＜ε，也即证明了lim n→∞（an·bn）=ab

数列的子列
子列的定义，设{an}为数列，{nk}为正整数集N+的无限子集，且n1＜n2＜......＜nk＜......，则数列
an1，an2，......，ank......称为数列{an}的一个子列，记为{ank}
从定义看，子列至少要满足3个条件，①子列{ank}的每一项都属于母列{an}；②子列每一项的先后顺序与该项在母列中保持一致；③子列也包含无限项
不过要注意的是虽然二者都是无限项，但子列中第k项是母列中的第nk项，而子列又是从母列中抽取的，所以nk总是≥k
平凡子列：{an}本身和去掉有限项后得到的子列
非平凡子列：不是平凡子列的子列，比如{an}所有奇数项组成的子列（a2k-1）与所有{an}所有偶数项组成的子列（a2k）
然后又延伸出一条判断数列收敛的定理，数列{an}收敛的充要条件：{an}的任何非平凡子列都收敛

接上，证明数列{an}收敛的充要条件：{an}的任何非平凡子列都收敛。为什么数列an收敛的充要条件是它的任一非平凡子列收敛而不是任一平凡子列收敛呢？根据定义，平凡子列是数列an本身及an去掉有限项后得到的子列，因为数列本身是无限项的，那么原数列去掉有限项后必定剩下的依然是无限项，证明如下图例8：

所以平凡子列本质上和原数列是同步的，数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。现在要证明原数列收敛和它的任一非平凡子列收敛互为充要条件，也就是既要证明若{an}任一子列收敛则可推导出{an}也收敛，还要证明若{an}的任何非平凡子列都收敛则可推导出{an}也收敛。假设p：数列{an}收敛，q：{an}的任何非平凡子列收敛。既然是证明p的充要条件是q，那么必须有p⇒q，q⇒p。
必要性（p⇒q）：设lim n→∞ an=a，{ank}是{an}的任一子列（包括平凡子列和非平凡子列）。对任意ε＞0，存在正数N，使得当k＞N时有|ak-a|＜ε。又因为子列的特性，nk≥k，则当k＞N时nk也必然＞N，从而也有|ank-a|＜ε，这就证明了{ank}收敛（与{an}有相同的极限）.
充分性（q⇒p）：考虑{an}的几个非平凡子列{a2k}，{a2k-1}，{a3k}，按假设它们都收敛。由于{a6k}既是{a2k}也是{a3k}的子列，由上段证明的必要性有：
lim k→∞ a2k=lim k→∞ a6k=lim k→∞ a3k （1）
又{a6k-3}既是{a2k-1}也是{a3k}的子列，同理有：
lim k→∞ a2k-1=lim k→∞ a3k （2）
由（1）和（2）可得lim k→∞ a2k=lim k→∞ a2k-1根据下图例7可知，一个数列，它的所有奇数项组成的子列和它的所有偶数项组成的子列都收敛且拥有相同的极限，则这个数列收敛。至此可以得到{an}收敛，充分性证毕。

另外上文所有子列{ank}实际上都是有下标的，正确的写法如下图：