有界性
收敛数列必定有界,但是有界数列不一定收敛,比如数列{(-1)^n}就是一个反例。
证明,设数列an,当n→∞时an=a。取ε=1,存在正数N,对任意n>N,有|an-a|<1,即a-1<an<a+1。
记M=max{|a1|,|a2|,......,|aN|,|aN+1|,......,|a-1|,an,|a+1|},则对任意正整数n都有|an|≤M。
这一块这样理解可能更直观,实际上可以把M能取到的值分成两部分,第一部分是数列从a1到aN项,第二部分是aN+1到an项外加|a+1|,这样就一目了然了,由于a1到aN的项数是有限的,有限数列必有界,而aN+1到an虽然是无限数列,但根据定义证明了这一部分是小于a+1的,这样令M=这里面的最大值,就保证了整个数列an≤M。
保号性
若lim n→∞ an=a,a>0(或a<0),对任意a'∈(0,a)[或a'∈(a,0)],存在正数N,使得当n>N时有an>a'(或an<a')。
证明,设a>0,取ε=a-a'(ε>0),则存在正数N,使得当n>N时有an>a'(a'=a-ε),证毕。
这个证明是教材的原文,说实话,一开始我是没太看懂,但后面结合几何意义再来看的话,就容易理解多了
通过上图,再来看保号性这个概念,实际上讲的是这么一件事情:根据极限的几何定义,只要数列收敛于a,那么对于可以任意小的正数ε,都能找到正整数N,使得数列从n>N开始,之后的每一项都落在以a为邻域的U(a;ε)之内,也即a-ε<an<a+ε。此时,对于(0,a)这个区间内任意一个数a',都可以再次找到一个N,使得n>N时,an>a'。
那么这又意味着什么呢?这实际上表明的是数列在靠近极限a附近的一个变化情况,这个保号是一个局部性质,并不针对数列整体,它一定是一个局部的性质。也即是说,假设极限a是大于0的,那么根据保号性,当数列从n>N项起,后面的an也都是大于0的,也就是进入极限范围附近开始,an总是跟极限保持符号一致,不会突然变号,或者说至少局部上保持了“整体一致性”。