开始之前，先讲一下类似镇楼图的，这类三角函数极值问题的通用思路。
关键就是万能公式换元。令 t = tan(x/2)，则 sin(x) = 2*t/(1+t*t) , cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

这样子把三角函数都变成关于 t 的分式。然后分式就很好求导，求导解出极值点就是了。
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比如求 (3sinx + 4cosx) 的值域，也可以用万能公式换元（虽然用辅助角公式一眼秒）：

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虽然相比辅助角，本题用万能公式看起来非常笨比。但是通法的好处在于一个“通”字。反正这求导不是我求，因式分解不是我分，求导后解方程不是我解，连写过程也不是我写的（都是程序自动写的），真是方便。
但是，唯一的问题，就是求导后有时候方程 ※真的※ 解不出来！众所周知，三次方程经常会出恐怖的根，五次方程已经不总有根式解了。比如可以试试镇楼图，求导后是个没有根式解的六次方程。
如果求导后方程解不出来（特别是没有根式解），那答案也没有根式表示。这个时候你再怎么换方法也没用，拉乘、柯西、赫尔德、数形结合都是没用——毕竟答案都不能写出来嘛。
本帖收集此类钓鱼题，欢迎分享类似的题（最好是关于sin(x),cos(x)不对称的函数）。

1.
sin(x) + 1/(cos(x) + k)
难度：当 k≠0,±1 时一般为不可解（无根式解）的六次方程
类似镇楼图的题，镇楼图相当于 k = 2. 今天遇到的另一个帖子也算作此类问题 https://tieba.baidu.com/p/8058630954

2.
k*sin(x) + 1/(cos(x) ± 1)
难度：当k≠0，一般是不可解（无根式解）的五次方程。
是三楼的一种变体。虽然从六次变到了五次，还基本上是无根式解的。比如下面这个就没有根式解。

3.
1/(sin(x) + a) + k/(cos(x) + b)
难度：当 a,b∉{0,1,-1}，k≠0，a≠b，一般是不可解的六次方程
比如下面充满着分式就能配柯西的味道！不好意思，其实没有根式解。

4.
k/sin(x) + 1/(cos(x) ± 1)
难度：三次方程
6楼的一种变体，注意右边分母底下的常数需要是±1。三次方程总是可以解的，但是一般都不友善。
譬如下例，虽然值域是R，但是如果要求 (0,π) 上的最小值就必须要解出它了。

5.
sin(x)*cos(x) + a*sin(x) + b*cos(x)
难度：当a,b∉{0,1,-1}，一般为四次方程
看起来也很可爱，像是关于sinx和cosx的二次式呢——

6.
sin(x)*cos(x) ± sin(x) + b*cos(x)
难度：一般为三次方程
是10楼的特例。不过三次方程的解也不比四次方程短多少。

7.
sin(x)*sin(x)*cos(x) + a*sin(x) + b*cos(x)
难度：一般为可解六次方程
如果是可解六次方程，常常最佳的方法不是万能公式换元，而是直接求导。这类的之后还会见到。先看看此例：


也可以直接操作该六次方程，
t^6 - 4*t^5 + t^4 - t^2 - 4*t - 1 = 0,
可以变成关于 t - 1/t 的三次方程
代入后，最小的字号一个屏幕也写不下，感受一下差不多得了

8.
sin(x) + k / cos(x)
难度：一般为可解的六次方程。
算是三楼的特例。由于是可解的六次方程，推测直接求导即可（类似十三楼），实际上的确如此。
如下例子，sinx + 1/cosx ，假设要求 (-π/2, π/2) 的极值点

可以得到方程 t^6 - 2*t^5 - 3*t^4 - 4*t^3 + 3*t^2 - 2*t - 1 = 0
可以写成关于 t - 1/t 的三次方程。

9.
1/sin(x) + k/cos(x)
难度：一般为可解的六次方程。
但是这次真的不是钓鱼！因为这个真的能用权方和/赫尔德！可以参考如下两贴：
https://tieba.baidu.com/p/8035729104
https://tieba.baidu.com/p/8025479303
直接求导也可以得出 cot³(x) = k，这个特殊的三次方程十分容易。

10.
sin(x)*cos(x)*cos(x) + a*sin(x)*cos(x) + b*sin(x)
难度：一般为可解的六次方程。（只有偶数次项）
只有偶数次项的六次方程相当于三次方程。一个数据凑的比较好的题目在 https://tieba.baidu.com/p/8048574074
下面看一个更一般的例子。

11.
sin(x)*cos(x) + a*sin(x)
难度：一般为只有偶数次项的四次方程。
只有偶数次项意味着四次方程相当于二次方程，简单友好，属于手算可做的范围。一个数据比较好的例子在 https://www.zhihu.com/question/453220685
一般情况下答案的形式长这样

13.
sin(x) / cos(x) + a * sin(x)
难度：一般为只有偶数次项的六次方程。
即三次方程。也可以直接求导，变成关于 cosx 的三次方程。