讲在前面：
高数知识量大，出题范围广。如果你数学基础本身就不好，哪怕应付你海的期末，只留一个星期复习也基本上是不够的。有些题你做过哪怕做对了我改个条件换个数值你就做错。
背公式有用，但背定义是没有用的。任何数学考试都不会出默写题。
如果有符号恐惧症或者密集公式恐惧症的，自己克服。
本帖结合我的几个常用习惯帮你改善运算和优化对各类定理的理解。你杠就是你对。

1、基本
映射
数学里最重要的概念，首先你要知道什么是映射
A经过某种确定的法则变成了B。这就是映射。
你可能无法想象一个苹果怎么变成一个鸡蛋，因为苹果好像通过任何渠道都不能变成鸡蛋，哪怕你上炼金术都不行。但是数学告诉你可以，而且抽象的不告诉你用的具体是何种方法，反正我通过“这种方法”我手里苹果就是变成了鸡蛋，其他的细节你不要在意。这就是映射。

x→1，x∈R
你填任何实数上去，它都会输出1。你可以理解为，不论你原来有什么东西，通过“这种方法”，它都会变成鸡蛋。这叫集合对元素的映射。
1→x，x∈R
你填了一个1，但是输出的却是实数域当中的某一个数x。也就是说，你给它一个鸡蛋，它却通过“这种方法”变成了任意一个东西。这叫元素对集合的映射。
所以必然有，
x→y，x∈R，y∈R
这叫集合对集合的映射。由于某个元素可以视为只含有该元素的集合，比如1可以视为{1}，所以集合对集合的映射我们就简称映射。
细节不要在意。你是偷是抢是放火烧还是用刀捅都无所谓，反正“这种变换方法”就是存在。而且它能确保给你输出一个已知特性的结果。好好理解现实世界和数学世界的区别。

函数
如果说映射，仅仅是表达我通过“你不需要在意细节的某种手段”将一个苹果变成鸡蛋，那么函数其实就是在映射的基础上告诉了你，变化前的那个东西和变化后的那个东西（等式左与等式右）当中存在着某种不可告人的交易，这个交易是：他们满足一种已知的、确定的关系。
f（苹果）=鸡蛋。你在现实世界里觉得这很荒谬，但数学世界里它成立。他的意义在于，苹果通过了“某种你不需要在意细节的方式”变成了鸡蛋，且在数学世界里，“苹果通过f（·）这种确定的法则后，与鸡蛋[相等]”。这就是函数。他有两个信息，一个是映射信息，另一个是关系式。
高中数学里你学了，y=x是函数。但y²=x不是函数。请你更正，现在我告诉你y²=x一样是函数，因为对于每一个x，它都通过这个等式告诉了你我上面那段所讲到的两个信息：即x与y存在映射关系且x与y满足确定的关系式。椭圆双曲线心形线螺线都是函数。对于y=x，它比较特殊，被称为一元函数。而对于y²=x这种等式右端不是y的一次标准型而是f（y）形式的，称为隐函数。

2、运算
草稿纸优化
你在算任何东西的时候，草稿纸太乱就会容易搞乱。漏乘一个系数、算了分子漏分母、算了一个中间结果然后迫不及待填到试卷上、8+4=14这种错误就会经常出现。
自己给每种错误分个类，然后在做题的时候针对各种可能出现的错误，在打草稿的时候刻意地避免。比如我在算一个连加式的某一项时，会下意识打一个[ ]、{ }等的括符告诉自己这是第几级子运算。不要照搬，自己找适合自己的方法。尽可能保证第一遍就算对，检查（不管你是边算边检查还是算完以后全局检查）会费大量时间，拖垮你的运算速度。

多项式运算
多项式运算一定是你这辈子碰到的最多的运算。在我看来，多项式运算不应该占用太大的草稿纸篇幅，不仅容易算错，还浪费时间。
来看看下面这个多项式计算。

我来猜猜你是怎么做的。首先，你肯定确认了这是一个二次多项式，然后算出第一项x²写在旁边，然后枚举各种一次项的组合，分别写出7x和-2x写在旁边，常数项二七十四，-14写在旁边，最后合并一次项写出+5x，再把之前记录的x²、+5x、-14连在一起，最后抄到试卷上。
我来说说我是怎么算的。

首先这是一个二次多项式。二次多项式的和是二次项一次项和常数项。二次项x²，一次项系数+7-2为5，常数项二七十四-14，直接在试卷上写出x²+5x-14。
如果你无法直观感受出以上两种两种做法的速度准度的差距，我们来试试三次二元多项式就知道了。

直观对比一下两种算法的强度：
逐个拆开：

和我的系数心算：

事实上在你熟练系数心算后，红圈里的内容根本不会出现在你的草稿纸上。你能直接写出最后答案。

因式分解
我要重点讲因式分解。这直接关系到你解每一个二次（极少数情况下三次以上）方程的速度。
都2024年了，你还在用这个公式吗？

如果某个二次方程的系数不大且结果都是整数解的情况下，你用这个公式我会笑话你。
事实上，考试里99%以上的二次方程都必定是整数解，含参那就更是整了。
使用因式分解解二次方程如果用熟了，哪怕真的遇到了某个方程没有整数解，你是能迅速看出来的。到时候再用求根公式求开方解也不迟。

细节不细讲，直接放图

有整数解的二次方程都有如下特点：方程的二次项和常数项通常都不是质数（如果出现分数那就遍乘某个数，整化）。就算常数项是质数那分解也能写成{1 质数}来进行分解。对于常数项是负数，分解数必然只有其中一个带负号，如果一种组合不行，可以考虑将负号对调再试。
对于含参的二次多项式，也一样可以假定它是整数解，再使用因式分解。在求某些含参矩阵的特征值问题中经常碰到。
我想起我考研前，曾经和一个大三学生现场PK数学。我们分C、B、A（从易到难）三个级别难度给对方出题。下面这道题是我给他出的C难度题，要他在1分钟之内解这个方程。如果没能限时做出来，我认为他没有资格和我PK。

不过，他正是使用了因式分解的方法通过了我的考验，用时46秒。

他给我出的那道“C级”题也非常经典，有兴趣同学可以尝试做一下，后面我将如何理解新学习的数学定理的时候会讲到。
限时4分钟，证明：线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵同秩。

除法因式分解
高数中经常面对三次以上多项式的因式分解问题，尤其是二元函数极、最值，函数的凹凸性与拐点的求解中经常用到。你需要用因式分解的方法解高次不等式（方程）。我非常清楚的记得我那年考研的求二元函数极最值题就遇到了三次多项式的因式分解。
我曾经做过一个求最大似然估计的题，由于时间很久我就不把题翻出来找了，概括下来大概就是遇到了这么一个问题（原题不记得了，数值经我改编）：求

的单调性与极值。
求导：

这是一个三次多项式，你一眼就看出了它有y=2这个根（1,2,-1,-2这种整数数逐个代入肯定有符合的）。现在你要尝试求此方程的另外两个根，就需要用到除法因式分解。
步骤不讲，直接上图：

所以它的分解式就是：

右边的二次子式恒正，所以f（y）的单调区间是（-∞，2）减，（2，+∞）增，y=2时取极小值f（2）。
上例给出的分解二次子式判别式小于0，当判别式大于0时，你可以继续尝试因式分解变为三个一次子式的连乘。

矩阵乘法
这是几乎所有同学学习线性代数时最头疼的问题。矩阵乘法步骤复杂，运算量大，容易出错。但是它的使用却贯穿所有的应用题。
对于矩阵乘法AB=C，矩阵乘法的合理性为：左矩阵的列数与右矩阵的行数相等时，允许进行矩阵乘法。相乘后的矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。记个口诀：“列行相等可乘，结果左行右列”。
矩阵乘法定义为：

大哥，你真的直接用这个公式去算吗？矩阵阶数一上来这可是要算死人的。因为你要算很多个相乘的相加，算起来会非常恼火而且容易出错。
我告诉你一个方法，将矩阵乘法分解为若干个矩阵的相加，这样不仅快、准，而且算起来不恼火。

原理不讲，自己证明。仿照我的做法就行。来看下面的实例。

以上算法对任何能相乘的矩阵都成立。其本质是将矩阵乘法公式里的“×”和“+”分离计算，极大提高效率和准确度。
学会之后，你会发现矩阵乘法so easy，哪怕4×4数据乱给，两分钟都能算完。

如果有以下两个明显的特征之一，矩阵乘法的结果必是实对称矩阵。
情况一：不论行数列数如何，左矩阵和右矩阵互为转置关系。
情况二：左矩阵和右矩阵都是实对称矩阵。
这我就能出个题了。
“记B=A·A^T，(A^T表示A的转置)，则矩阵B对应不同特征值的特征向量必定正交。”
这句话对还是错呢？