（续）
顶楼所说的想法错在哪里？错在：
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通常，没有理由判定各个分情况出现的概率孰大孰小时，我们会按“概率均匀”来认定，即认为它们都相等。例如上面的叙述中，认定对方拿到的究竟是2x，还是x/2，认为概率各为1/2。
但在采用这种“概率均匀”办法时，需注意两点：
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一是：
因“没有理由”，就按“概率相等”来认定，是早期古典概率论中常采用的原则。但是人们已经发现它的不合理之处。
凡了解过“贝特朗悖论”的朋友可以知道，采用不同的参数作为样本空间，何为“概率均匀”，是有歧义的，会产生矛盾的。因此这个古典的原则并不可靠。
所以，现代的概率论中，如果已知条件中没有显式地指明在哪种样本空间里“均匀”的话，初步分析时仅因“没有理由”而认定的“概率相等”，只能算作预估，不能算定论。
随着进一步分析时新发现的信息提供新的“理由”，有可能需要改动的。
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二是：
如果是“无限多种分情况”，那么，不管是否给出概率如何分布的已知条件，都不可以认为“概率均匀”，必须认为存在一个不是常数的“分布曲线”，且满足一定数学特征，否则会违反概率论的公理。
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后面这第二点，是因为：
按概率论公理，各分情况下的概率之和应该等于1。
无限多种分情况，求其和须采用极限概念（对连续分布用无穷积分，对离散分布用级数）；
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例如一个量是非负实数，设它取值为x附近的概率密度为p(x)，则必须：
x由零到∞的积分∫p(x)dx = 1。
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但我们知道，如果认为“概率均匀”，即p(x)是一个常量，那么：∫p(x)dx或者不收敛（如果p(x)≠0），或者收敛为零（如果p(x) = 0），总之，不可能是1。
要想使无穷积分∫p(x)dx收敛为1，p(x)就不可以是常量。
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本题目的问题就出在这两点上。
下面具体到本题来说明。
（待续）

（续）
设两个红包中的钱，少者为n，多者为m，m = 2n。
第一次拿取，拿到的x是等于m，还是等于n，因没理由，暂认为概率各1/2。
对再次交换后的预期：如果x是m，交换后损失x/2；如果x是n，交换后收益x。故顶楼的想法是认为：二者平均，损失小于收益。
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但顶楼这个计算，除了认为x是m和n的概率各1/2以外，还认定了x值已经确定。
试想，说“x/2 < x”，是指的同一个x。如果x值不确定，即考虑到可能拿到不同x的情况的对比，拿得x较大时的“x/2”，不见得比拿得较小x时的“x”小。x值确定，才能有上述估计。
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然而，一旦x值确定，那么x值内隐含的信息就与上述“概率各1/2”有冲突了。
这是因为，下面的分析可以得知：
如果x越大，则“x是n的概率”越小，“x是m的概率”越大。
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所以，这两个概率不可能固定等于1/2。
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下面说明如何分析出这个规律。
（待续）

（续）
n和m都是未知正数，分布于正半数轴，有无穷多种可能取值。上面2楼第二点已说明过：此时题目虽没有说其概率如何分布，我们也可断定一定不是均匀分布，而是有一定的分布曲线，如下图。
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曲线pm(x)、pn(x)的具体形状数据虽然不知道（图中只是示意），但可以肯定存在下述特征：
首先，曲线下面积为1（这是根据概率论的公理）；
其次，右边无穷远处趋于0（这是积分收敛的必要条件）；
还有，因为m = 2n，所以pm(x) = pn(x/2)/2。故m的曲线比n的曲线向右加宽到2倍，而高度（概率密度）缩小到一半,曲线的峰值点也向右移了。

可以看出，如果拿到的x值等于图中H点，那么这个x是n的概率和是m的概率一样大。不过，因为曲线具体形状未知，故这个H点的位置也是未知的。
x值越小，则x是n的概率越大；
x值越大，则x是m的概率越大。
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也就是说，x较小，则交换后较大概率出现收益；x较大，则交换后较大概率出现损失。
再算上每次损益时的损益量，可知损益量的数学期望是x的函数，大致趋势应是x较小时为正，x较大时为负。
（待续）

（续）
这就可以解释顶楼的矛盾了。
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若完全不考虑x的大小，那么，除应认为将拿到的x是m还是n，概率各1/2以外，对于交换一次后的损益的数学期望，也应该认为是零（即交换前后钱数的数学期望不增不减），才合理。
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若确定了x值，那么，对再次交换后损益的的预期，则除要考虑如上所说的损失x/2和收益x的大小以外，更应该考虑发生损失和收益的概率大小。
而这两个概率是随x的不同而不同的，并非简单地各1/2了。
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从上面分析知道，假如曲线pm(x)和pn(x)数据已知，交换一次后的损益的数学期望可以定量算出；即使曲线不知，但趋势仍然可知；即：
若x较小，期望为收益；若x较大，期望为损失。
并非顶楼所说的都是收益大于损失。
更何况，交换前，甲乙两人见到的x是不同的。
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这就是顶楼疑似悖论的来源。
（待续）

（续）
上面的分析合理与否，如有疑惑，可以如下验证：
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上面所说的“确定了x值后”的概率，其实就是一种条件概率，即“当x等于某个确定的值”条件下的概率。此时的数学期望也就是该条件下的数学期望。假如曲线pm(x)和pn(x)数据已知，它们都是可以定量计算出来的。
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如果前面的分析无误，那么我们根据这些条件概率，用全概率公式反推出“无条件概率”，即前面所说的不考虑x的大小的概率，应该和开始的认定一致：各二分之一。同样办法，反推出不考虑x的大小交换一次后的损益的数学期望，也应该是零。
不妨推导一遍看看。
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先考虑概率：
x值确定后，
x是n的概率为Qn(x) = pn(x)/(pm(x)+pn(x))
x是m的概率为Qm(x) = pm(x)/(pm(x)+pn(x))
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而具体拿到x的概率也有其分布曲线，其概率密度应为
Q(x)=(pm(x)+pn(x))/2
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按全概率公式，不确定x值时，拿到x是n的概率应为：
x由零到∞的积分∫Q(x)Qn(x)dx
　= ∫((pm(x)+pn(x))/2)(pn(x)/(pm(x)+pn(x))) dx
　= ∫( pn(x)/ 2)dx
我们已经知道pn(x)的曲线下面积为1，显然这个积分等于１/２。
同样道理，拿到x是ｍ的概率也等于１/２。
．
再考虑交换损益的数学期望：
x值确定后，如果再交换的话，出现损益的期望S(x)应为：
S(x) = Qn(x) * (+x) + Qm(x) * (-x/2)
　　= 　pn(x)/(pm(x)+pn(x))* (+x)
　　　+ pm(x)/(pm(x)+pn(x)) * (-x/2)
　　= (pn(x) * (x) - pm(x) * (x/2) ) / (pm(x)+pn(x))
按全概率公式，不考虑x的大小，再交换出现损益的期望应为：
x由零到∞的积分∫Q(x)S(x)dx
　= ∫((pm(x)+pn(x))/2)((pn(x) * (x) - pm(x) * (x/2) ) / (pm(x)+pn(x))) dx
　= ∫( (pn(x)* (x) - pm(x) * (x/2) ) / 2) dx
将pm(x) = pn(x/2)/2代入，得：
上式＝∫( (pn(x) * (x) - pn(x/2)/2 * (x/2) ) / 2) dx
　　＝∫( pn(x) * (x) / 2) dx - ∫( pn(x/2) * (x/2) /4) dx
设t= x/2，代入第二个积分，则：
上式＝∫( pn(x) * (x) / 2) dx - ∫( pn(t) * (t) / 2) dt
其中第一个∫是x由零到∞的积分，第二个∫是t由零到∞的积分，显然两个积分结果相等，故：
上式＝ 0 。
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都与前面的认定一致，无矛盾。
（待续）

（续）
下面，在开始讨论顶楼后面说的那个“进一步”的问题之前，先对有朋友针对我的上文所提的质疑、追问，做点解释。
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◆我上面3楼说：计算时，说：“如果x是m，交换后损失x/2；如果x是n，交换后收益x；而x/2 < x”这话，就意味着“x值已经确定”。
对此，有朋友质疑说：“我在没有看钱数之前说这话呢？还能算x值已经确定吗？”
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其实，“看不看”是次要的，重要的是您这话所依据的背景条件是什么：
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背景条件一：m和n已经确定（由发红包者决定），而拿到哪个未知。此时要猜测的是能拿到哪个。
背景条件二：已经知道拿到的钱数x，而不知这个x是m还是n。此时要猜测的是发红包者是如何发的。
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用俗话说，前者的“概率”指的是拿钱者的“手气”，后者的“概率”指的是发钱者的“脾气”（所以我4楼要考虑钱数的概率分布曲线）。
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我说意味着“x值已经确定”，意思就是：说这话时依据的是后一个背景条件，而不是前一个。
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试想，假如说这话时依据的是前一个背景条件，x值没有确定而m和n已经确定，那么，这句话里的两个x不是同一个数，前一个x是m，后一个x是n，而本来m就是n的两倍，这里再说x/2 < x显然不对了。
（待续）

这个悖论吧里讨论过，总结一下无非四个字：弃车保帅。

说两点：
其一、上面2楼主要意思都对，但有一句话有欠严格之处。
并非任何“无限多种分情况，”都不可以认为“概率均匀”。
例如，若X的值域是数轴上一个区间。虽说一个区间中有“无限多个点”，也可说是“无限多种分情况”，但还是可以“分布均匀”的。因为一个区间中常数的定积分是可以等于1的。
不过楼主的具体结论是对的。“零到∞”的概率均匀是不可能。

其二、
很赞同上面7楼说的：
“不确定x”背景下，“概率”指的是拿钱者的“手气”；“ x已确定”背景下，“概率”指的是发钱者的“脾气”。
这话说的很对。
假设已经给的两个红包，一个20元，一个40元，猜你会拿到哪个？没理由说哪个的可能性更大。纯靠“手气”。只能估计各1/2概率。
但假设，拿到的x是20元，现在要猜的是人家发红包的时候，究竟是发的“20元、40元”，还是“10元、20元”。
这就要看发红包的人的背景了，不管是经济条件，还是发钱者的“脾气”， 还是别的条件，当然不可能“零到∞概率均匀”的。只能设想有个分布曲线。
这两种情况下判断的概率，显然是有很大不同的。
顶楼的矛盾看来就是出在混同了这两种不同情况。

（续7楼）
多谢各位朋友指教。因故拖延了几天望原谅。
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下面再说顶楼最后提出的“进一步讨论”的问题。即：
假如只给甲方特权，看到钱数后可决定交换与否的话，甲方有办法“占便宜”吗？
我的答案是：有办法。
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上面我们已经得出了结论：
在知道钱数x以前就做决定要不要交换，对最后的数学期望没有影响。
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不难证明：以下三种对策，不管采取哪一种，最后的数学期望是一样的：
一、一律不交换；
二、一律交换；
三、随机地以一定概率（此概率与钱数x无关）来决定交换与否。
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然而，在看到钱数x以后，就多知道了一点信息。
上面我们已经分析过，交换后的损益量的数学期望是x的函数，虽具体的曲线形状未知，但大致趋势知道了：是x较小时为正，x较大时为负。如下图。

所以，有了“知道x”这个条件，只要有一种对策，能使得：x越小，就越倾向于“要交换”；x越大，就越倾向于“不要交换”；那么，最后的数学期望是可以比上面三种对策再提高的。
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下面具体设想一下。
（待续）

（续）
设想，甲方自己定一个自认为的“中间数”Y，决定对策是：“如果x<Y，就交换；否则，就不交换”，行不行呢？
这样做，从概率上说，也能一定程度“占便宜”，至少不吃亏。
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这也不难证明。
11楼说的损益量数学期望，虽然具体曲线不知道，但肯定会存在一个过零点X0。假如我们选的Y恰好等于X0，显然最好，不必说了。
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假如Y和X0不等，例如Y<X0，那么这种对策的效果，等于在上面11楼的三种对策中“对策一”的基础上改动——将x<Y的区间由原来的“一律不交换”改为交换，而x<Y的区间中原来交换的期望是收益大于损失，故此对策等于对“对策一”的优化，效果不劣于“对策一”。
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反之，假如Y>X0，那么按相似的道理，这种对策等于在上面11楼的“对策二”的基础上优化，效果不劣于“对策二”。
而“对策一”、 “对策二”效果一样。故此对策概率上是“占便宜”的。
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不过，我们已经知道，x不可能在实数域“均匀分布”，必有如4楼所述的分布曲线。
而只有所选的“中间数”Y，处于该曲线的分布区域以内，上述“优化”才会实际有效。
而该曲线，如7楼所说完全取决于“发钱者的脾气”，甲方在确定Y时对其完全未知。
像下面三个图，只有第一个优化才有作用。假如像后两图，Y选到了分布区域以外，x<Y和x>Y二者必然只有一种可以出现，上述“优化”的机会必然不会遇到。实际上就完全和对策“一”、“二”一样了。
.

也就是说，这种对策虽然概率上是“占便宜”的，但因Y选的不好而不起作用的可能性很大。所以不够可靠。
（待续）

（续）
楼上（12楼）的对策之所以“不够可靠”，关键在于：Y的选择，只有选在x的概率曲线的分布区域中才有作用，而甲决定Y的时候，完全不知道x的概率曲线。
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要想避免因不知x的分布范围而形成“不起作用”的结果，可换个思路。
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因为下面的讨论要和11楼的“对策三”联系，为此先对 “对策三”做一点解释：
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“对策三”里说到的“随机地以一定概率来决定”是一种什么操作？
具体就是：
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自己制定一种规则，使得：
按照这个规则操作一次所得的决定结果，是随机的，别人无法预知；但假如按照同一个规则多次试验所得的结果的统计，可以确定其概率为一个要求的值。
例如：做决定前掷骰子，掷到2、5点就交换，掷到1、3、4、6都不交换。这就是一种“概率为2/6（即1/3）地随机交换”。
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11楼所说的“对策三”的意思就是：
只要你决定交换与否，是按照上面所说的那样一个规则，而这个规则所确定的“一定概率”，与钱数x无关，那么，最后的数学期望，就与“对策一”和“对策二”都一样。
（待续）

（续）
现在我们说的换个思路，就是：
类似于11楼的对策三，同样是“随机地以一定概率来决定交换与否”，但不同的是：此概率由看到的钱数x来确定，x越大，“要交换”的概率就越小，“不要交换”的概率就越大。
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具体点说，就是设计一个值域在1到0之间的减函数g(x),实际操作时，使“要交换”的概率等于g(x), “不要交换”的概率为1-g(x)即可。
设计g(x)的办法有很多。例如：令g(x)=1/(x+1)，或者g(x)=0.9^(-x),……，等等。
若g(x)不同，则效果有量的差别，但都满足这里的讨论。
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因为g(x)可能需要连续改变，不是简单分数，不便采用楼上所说的掷骰子等，实际操作时可以借助一个类似“抽奖转盘”那样的工具，具有0到1之间的连续均匀刻度，你确定要求的概率g(x)以后，做决定前就转一次，所停位置的刻度不超过g(x)就交换，超过就不交换，即可。
当然，也可以利用电脑编写一个0到1之间的随机数发生器来代替这个“抽奖转盘”，不详述了。
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只要拿这种方法和11楼的“对策三”做个比较，不难证明它肯定是优于“对策三”的。
所以，它是一种利用看到钱数后决定交换与否的决定的特权“占便宜”的对策。
（待续）

（续）
可以将12楼和14楼的对策，做一比较。
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如果对减函数g(x)的要求宽一点，允许不严格的减函数（即允许有水平段），那么可以把12楼方案看做14楼方案的一个特例，即14楼方案等于是定义g(x)为：
“如果x<Y，则g(x)=1；否则，g(x)=0”。
如此，“不严格的减函数”g(x)的“减”，只出现在Y点前后，其它部分全是水平段。
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前面说，12楼的方案有“因Y选得不好而不起作用的可能性”。
但是，如果选得好，起的优化作用可能比14楼方案更明显。
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这是因为，12楼方案里g(x)在Y点前后由1直接减到零；
而14楼g(x)的递减，分布在0到无穷的范围，每一部分的“减”，都是少量的，故与11楼的“对策三”相比虽有优化，但优化的程度不可能大。
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举一个极端化的例子：
假设该活动内定钱数大者m在30～40元，小者n在15～20元。
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如果采用12楼方案，那么：
假如甲确定的Y在20～30元之间，则100%可以拿到大者，结果最优。
但假如确定的Y在20元以下，或40元以上，拿到大者的概率只是50%，等于完全没有优化。
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而采用14楼方案，拿到大者的概率总能大于50%，但都大不多。
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再从实用的角度做点讨论：
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12楼的方案的“不可靠”，源自不知钱数的分布曲线，所以无法避免将Y选在“不起作用”的地方。
但在实践中，钱数的分布曲线虽不公开，但并非所有信息都不能根据客观情况来估计猜测。只要知道了部分信息，就可能在上述方案基础上进一步优化。
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如：我们如果猜到m的下限不会小于Y1，则可令x<Y1时g(x)=1；
如果猜到n的上限不会大于Y2，则可令x>Y2时g(x)=0；
在其它区间中再按“减函数”要求来设计g(x)；
如此，g(x)“减”的陡度可以尽量的加大，效果自然会进一步增大。