巨大基数：一般如果V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型，那么它就是巨大基数，j(K)M⊂M。公理 I3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。公理 I2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，λ为临界点上方的第一个不动点。公理 I1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。公理 I0：存在 L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点<λ公理。

存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，同时伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)，这个是伊卡洛斯基数。
………
若数κ为伯克利基数，则对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都有一个初等嵌入j:M<M和crit j<κ。若κ是正则的，且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，则称κ为极限伯克利

新的大基数公理和终极l程序ABSTRACT. 我们将考虑一些新的大基数性质，每个极限序数α>0的a-巨大基数，每个极限序数α>0的α-巨大基数，以及超级巨大基数。对于极限序数α>0， α-巨大基数和超巨大基数在I3和I2之间具有一致性强度。α巨大基数和超巨大基数具有大于I0的一致性强度，Hugh Woodin论文第二部分中讨论的关于合适扩展子模型的所有大基数公理也都与ZFC不一致，且一致性强度大于10。拉尔夫·辛德勒和维多利亚·吉特曼提出了虚拟大基数性质的概念，并明确了“虚拟α-巨大”和“虚拟超巨大”的概念。在V=HOD的假设下，一个可测量的基数实际上是超级巨大的。使用第6节给出的Ultimate-L的定义，声称是正确的定义，假设对每个极限序数α>0存在适当的α-巨大基数，可以证明，如果V在该定义的意义上等于UltimateL，那么可以得出一个虚拟ω-巨大基数是Ramsey基数的极限。我们可以引入一个超巨大的*基数的概念，它的强度比一个超巨大的基数要小一些，并且可以证明一个基数κ是一个初等嵌入j:Vₓ+2最后，对于每一个极限序数α>0都存在一个合适的a-巨大基数的断言可以被证明暗示了终极l猜想的一个版本1. 新的大基数性质的定义定义1.1。

假设a是一个极限序数，使得a。我们说，如果存在一个基数<s₈:β<α>₃< V₆₃对于所有β<a，如果n>1和⟨β₁:i<n)是一个小于a的递增序数序列，那么如果β 0≠0，那么对于所有β'<β 0有一个基本的嵌入j:V₃:V<Vasu，其critical point Ky和j(kB) =Kₐ，j(k8，)=Kₐ:对于所有i有0≤i <n -2，如果β 0 =0则有一个基本的嵌入j:Ves。₂<Ves......，临界点k'< k 0, j(n')=Ko, j(kₐ)= kₐₜ，对于所有i，使0≤i<n-2。定义1.2。使κ κ-巨大的基数κ被称为超级巨大的。定义1.3。假设α是一个极限序数，使得α>0， (KB:β<a)和一个初等嵌入族F共同见证了κ是α-巨大的，在F族F中，对于每个小于a的有限序数序列，只有一个嵌入族见证了a-巨大。假设，给定任何ωy序数序列(β₁:i<ω)小于a，存在一个初等嵌入j:Vₓ+:<Vₓ+:临界序列⟨kₐ:i<ω)，通过将F中明显的ω-嵌入序列粘合在一起得到，其中λ:=supreme名称。菅直人。进一步假设存在初等嵌入k:V<M，固定所有大于λ的正则基数，Vₓ⊆M和(Vₓ+1)ʷ<Vₓ+1,k|Vₖ=j|VA。如果β:=supmec, Bn<a，则令ρ:=K₃，否则令p:= K。假设，当我们有Vₓ+1⊆S⊆V，且S∈L(Vₓ+1)[X]，其中X:=(c₁"δ₁:i< n)对于某个有限序数n，其中每个e，是一个临界点大于λ与δ的基本嵌入，e的临界序列的最高，δ₂是成对不同的，k(S)⊆S，那么我们有k(S)<S。

如果所有这些条件都得到满足，那么κ基数就可以说是巨大的。定义1.4。使κ-巨大的基数κ被称为超巨大的。我们很快就会证明a-巨大基数和超巨大基数相对于12是一致的。我们还将确定a- huge基数和hyper- huge基数具有比10更强的一致性强度，或者任何其他之前被认为与ZFC不一致的大基数公理。最后一节将简要讨论定义的原始表述的灵感来源，这可能是假设这些大基数与ZFC一致的一些动机，而在后续中证明的结果可能为假设一致性提供一些额外的动机。让我们首先建立极限序数α>0的a-巨大基数和超巨大基数的一致性强度严格在13和12之间。2. α-巨大基数和超巨大基数的一致性强度定义2.1。如果一个基数κ是初等嵌入的临界点j: v₆<V₄，则该基数κ为13。I3是I3基数存在的断言，I3(c， δ)是第一个陈述对特定序数κ成立的断言，κ<δ。定义2.2。

一个基数κ被称为I2基数，如果它是一个初等嵌入的关键点j:V<M，使得V₆C M，其中δ是大于κ的最小序数，使得j(δ)=δ。I2是一个12基数存在的断言，I2(k， δ)是第一个陈述对特定序数κ成立的断言，δ这样K< δ.在本节中，我们希望证明o-巨大基数和超巨大基数严格在I3和I2之间具有一致性强度。定理2.3。假设k是ω- huge，如⟨k所示，:i<w)。然后在ko上有一个正常的超滤器U，使得所有rl<K 0的集合使得某些δ<K 0的I3(K²，δ)是U的元素。证明。假设κ是ω-巨大的，⟨κᵢ:i∈ω ω⟩与某个家族的基本嵌入F一起见证了ω-巨大的κ。在不失一般性的前提下，可以假定F中所有具有临界点ko的嵌入都产生相同的结果s 0上的正常超滤器，下式中用U表示。我们可以用反射来证明一个属于U中任何固定成员的No <ko的存在，例如⟨κ 0， κο， κι…)，以及某个家族的基本嵌入F 0，见证了κ的ω-榔头。然后我们可以重复这个过程找到属于相同的固定成员U n₁,K₀< K₁<不,这样(n₀Kuch K₁,K₀,K₁,…),加上小学嵌入的某些家庭F₁,见证ω-tremendousness r。我们可以继续以这种方式,我们也可以安排的事情,这样有一个嵌入的序列约

:Vi, < V≈临界点K₀所有n > 1时,可以选择用归纳法,这样对于每个n > 1, j,约一致,所有m, 1 < m < n,可以选择Fₙ中临界序列为(w₀，n₄，，…\|ₙ₋₂)开头的嵌入，使其与jn一致。通过这种方式，我们获得了一个序列(n'n;n<w)和一个嵌入序列j，具有前面所述的属性。对于U中的任何给定元素，存在这样一对序列就会产生所声称的结果。定理2.4。假设κ是I2基数。然后有一个正常的超滤器U在κ上集中在超巨大的基数上。证明。设w为I2基数，设基元嵌入j:V<M，临界点kal点为κ为I2基数，临界序列的极值为δ。假设U是j形成的κ κ的超滤器，我们可以很容易地证明k²< k的集合，即存在一个基元嵌入量kw:V₃<V₃，其临界序列由n′和j的临界序列组成，是U的一个元素(以下记为X)。然后，属于这个集合的序数序列，以及可以从嵌入序列(kw:k²∈X)中导出的嵌入族，证明了κ是超级巨大的。由于κ在M中也非常大，所以得到了预期的结果。

这就完成了a-巨大基数和超巨大基数严格在13和I2之间具有一致性强度的证明。在下一节中，我们将讨论α-巨大和超巨大基数的一致性强度。3. 一致性的力量是巨大的HYPER-ENORMOUS红衣主教我们希望证明a-巨大基数和超巨大基数的一致性强度大于任何以前认为不与ZFC不一致的大基数公理。我们将从定义中讨论的一些大基数公理开始[2].定义3.1。如果符合下列条件，我们说序数λ满足拉沃尔公理。有一个集合N, Vₓ+₁⊆N⊆V₄+2和一个初等嵌入j:L(N)<L(N)，使得(1) N = L (N)∩V₄+₂和暴击(j) <λ;(2) N ʲ⊆L(N);(3) 对于所有F:Vₓ+1→N\{0}，使得F∈L(N)存在G:Vₓ+:→Vₓ+1，使得G∈N，并且使得对于所有A∈Vₓ+1,G(A)∈F(A)。我们将在第6节末尾陈述一个涉及拉沃尔公理的主张，但在本节中不再进一步提及它。定义3.2。我们定义该数列

(Eₐ(Vₓ₊₁):α<Tvₓ₊;)为满足以下条件的最大数列。(1) Fₒ(Vₓ₊₁)- L (Vₓ+ 1)∩V₁+₂和E°(V₁+ 1)= L ((Vₓ+ 1)*)∩V + 2。(2) 假设α< Tvₓ₊，α是一个极限序数。则E%(Vₓ+;)= L(U{E}(Vₓ+₁):β< a})∩Vₓ+₂。(3) Supposea+1 < Tvₓ₊₁。那么对于某个X∈Eₐ₊(Vₓ+1)，E%(Vₓ+;)< X，这里我们的意思是π∈L(X, Vₓ+1)，并且E₀₄₁(Vₓ+1)=L(X, Vₓ+1)∩Vₓ+2，并且如果a+2< Tv。，则E0+2(Vx+1)=L((X, Vₓ+1)*)∩Vx+2·(4) 假设a <Tvₓ₊₁。然后存在X⊆Vₓ+ 1,E0 (Vₓ+ 1)⊆L (X, Vₓ+ 1),这样有一个适当的小学嵌入j: L (X, Vₓ+ 1)< L (X, Vₓ+ 1),这意味着j是重要的临界点以下λ,和所有X '∈L (X, Vₓ+₁)∩Vₓ+ 2存在一个Y∈L (X, Vₓ+ 1)∩Vₓ+ 2这样(X₁:我< w)∈L (Y V₄₊₁),其中X₀评分= X, Xᵢ+ 1 = j (Xᵢ)≥0。(5) 设α< Tv₂a₁，α为极限序数，设N= E₀(Vₓ+1)。然后要么

()(咖啡(θ≈)∪N) <λ,或者。(b)(咖啡(θ≈)∪∞>λ和一些Z∈N, L (N) = (HODvᵢ₊;u (Z))∪M。这里θʸ=sup{θ x, Vₓ+1):x∈N}其中θ x, Vₓ+1)是序数的最大值?它可以作为定式Vₓ₊₁的上域，其中₁是L(X, Vₓ+1)的一个元素。(6) 设a+1<Tvₓ₄₁，α为极限序数，设N=E₀(Vₓ+1)。然后要么()(咖啡(θN))联合国)<λ,E0 +; (Vₓ+ 1)= L (N≯,N)∩Vx +₂,或(b)(咖啡(θ°))∪⁽ⁿ⁾>λ,和E₀₊₁(Vₓ₊₁)= L(ε(N), N)∩Va + 2,在E (N)是基本的集合嵌入凯西:N < N。定义N:=L(U{E%(Vₓ+1)|α < Tv…;})∩V∧+2。设cof(θⁿ)> λ且L(N)≠(HODvₓ₁，u(z))L(N)对于a∥z∈N，进而存在一个初等嵌入j:L(N)<L(N)， crit(j)<λ。那么λ满足Woodin公理。

定理3.3。假设κ是ω-enormous，正如序列⟨κₙ:n<ω⟩所见证的那样。Vn 0是证明存在一类λ满足Woodin公理的模型。证明。假设定理陈述中给出的假设和符号。令λ:=sup{Kn:n<ω}，则存在一个初等嵌入j:Vₓ+1<Vₓ+:具有临界序列(Nn: n<w)。在Vn中，通过扩展j的嵌入，在V=HOD的假设下，充分证明λ满足Woodin公理，也可以证明λ满足Laver公理。假设一个集合序列(E%(Vₓ+1):α<β)满足Woodin公理定义的要求(1)-(6)，相对于Vₓ，对于某些β≤Tvₓ₊₁，并定义N为E%存在的唯一可能候选。由超限归纳可知，

L(j(N)∪Vₓ+1)∩Vₐ=L(N)∩V。然后，考虑到j对这样一个N的元素的作用是由j|Vₓ决定的，并利用ω-巨大性假设，可以通过超限归纳表明，j对L(N)∩Vₙ的限制是嵌入L(N)∩Vₓ<L(N)∩Vₓ的一个基本嵌入，适用于β<Tvₓ₁的情况。由于对于满足上述所有条件的每一个N，我们现在可以通过超限归纳得出，λ在Vₓ中满足Woodin公理，通过将j的限制扩展到Vₓ+1。这就完成了论证。这就完成了a- huge和hyper- huge基数的一致性强度比以前认为的任何不一致的ZFC扩展都要大。4. 几乎是α巨大和超巨大的红雀Ralf Schindler和Victoria Gitman在[4]中引入了虚拟大基数属性的概念。给定由集合大小的初等嵌入j:V定义的任意大基数性质。<V₃或这类嵌入物的家族，相应的虚拟大基数

脱殊复宇宙：脱复殊宇宙是在所有的力迫扩张及其扩展、非力迫扩张及其扩展下closure形式的V。

【也论形式主义与多宇宙观】网页链接
【多宇宙观幻觉-MathematicalLogicatFudan-复旦大学.PDF】https://mbd.baidu.com/ma/s/7RuNAaIQ