放弃 提示要证明这两个模的基数不相等：如果是有限集，那么Y^X基数就是(#Y)^(#X)，现在是无限集，由命题“若X, Y 是可数的，则笛卡尔积X x Y 是可数的"+归纳法有Z^N是可数的，后者Z^(⊕N)就该是不可数的，咋证明？
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#(Z^N)=ℵ_0^ℵ_0≥2^ℵ_0=c
实际上还有ℵ_0^ℵ_0≤(2^ℵ_0)^ℵ_0=2^(ℵ_0·ℵ_0)=2^ℵ_0，所以#(Z^N)=ℵ_0^ℵ_0=2^ℵ_0=c
另一边Z^(⊕N)=∪_n Z^(⊕n)，其中Z^(⊕n)同构于Z^(⊕N)中第n+1项开始全部为0的部分
所以#(Z^(⊕N))≤Σ_n #(Z^(⊕n))=Σ_n ℵ_0^n=Σ_n ℵ_0=ℵ_0·ℵ_0=ℵ_0
再加上#(Z^(⊕N))≥#Z=ℵ_0有#(Z^(⊕N))=ℵ_0
实际上还有ℵ_0^ℵ_0≤(2^ℵ_0)^ℵ_0=2^(ℵ_0·ℵ_0)=2^ℵ_0，所以#(Z^N)=ℵ_0^ℵ_0=2^ℵ_0=c
另一边Z^(⊕N)=∪_n Z^(⊕n)，其中Z^(⊕n)同构于Z^(⊕N)中第n+1项开始全部为0的部分
所以#(Z^(⊕N))≤Σ_n #(Z^(⊕n))=Σ_n ℵ_0^n=Σ_n ℵ_0=ℵ_0·ℵ_0=ℵ_0
再加上#(Z^(⊕N))≥#Z=ℵ_0有#(Z^(⊕N))=ℵ_0
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5楼2024-09-11 19:09
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