附上一些必要引理：
对任意实数x机有理数q，f(qx)=qf(x)。
证明：f(0+0)=f(0)+f(0)得f(0)=0，归纳易证对自然数n，f(nx)=nf(x)。
对负整数n，f(0)=f(nx)+f(-nx)，从而f(nx)=-f(-nx)=nf(x)。
对y=x/n同样讨论得f(x)=nf(x/n)，即f(x/n)=f(x)/n
从而f((m/n)x)=mf(x/n)=m/nf(x)

给个2楼结论的证明
1. 若f连续，则解是线性的
证明：利用上面的引理得到f(q)=qf(1)对所有有理数q成立。对任意实数x，取一列有理数{qn}趋于x，则f(x)=lim f(qn)=lim qnf(1)=xf(1)。

再写个常见的
2. 若f在某点连续，则解是线性的
证明：不妨设f在a点连续，则对任意实数x，对任意序列{xn}趋于x，lim f(xn)=lim f(xn-(x-a))+f(x-a)=f(a)+f(x-a)=f(x)。从而f处处连续，利用1的结论，f的解是线性的

结论3有很多推论
4. 若f在某个区间（或开集）上有界（或有上界或有下界），则解是线性的

继续3的推论
5. 若f是Lebesgue可测函数，则解是线性的
证明：找到正整数n使得X={x||f(x)|<n}具有正的Lebesgue测度，则X-X={x-y|x∈X,y∈X}包含一个开集且f在其上有界。由结论3或4可得。

5的推论
6. 若f在一个L-正测集有界（或有上界或有下界），则解是线性的

继续推论
7. 若f在Cantor集上有界（或有上界或有下界），则解是线性的
[0,1]⊂C+C/2

8. 如果选择公理不成立，且所有实数集都Lebesgue可测（注1），则Cauchy方程的解都是线性的。
选个n使得X={x| |f(x)|<n}具有正的Lebesgue测度，则X-X包含一个开区间且f在其上有界，由结论3（注意3的证明不需选择公理）知f是线性的。
注1：Solovay构造过一个这样的模型。

9. 如果存在某个可测函数g使得对任意x，f(x)<g(x)，则f是线性的
容易找到一个正测集X，f在X上有上界，从而在X+X上有上界，而X+X包含一个开区间。

换个角度
10. 若存在某个整数n>1使得f(x^n)=(f(x))^n，则f是线性的
证明：若n为偶数，则x>0时，f(x)=f(x^1/n)^n≥0，由结论3知。
若n为奇数，任取实数x、有理数q，f((x+q)^n)=(f(x+q))^n，两边分别展开得
∑ C(n,i)f(x^(n-i))q^i=∑ C(n,i)(f(x))^(n-i)(f(1))^iq^i
将之看作q的方程有无穷个解从而各项系数相等，从而f(x^2)=(f(1))^(n-2)(f(x))^2。
利用n为偶时的结论并讨论f(1)的值知f的解为f(x)=kx，其中k为-1或0或1。
PS：上述来自博士数学论坛

推论一下
11.1 若n为>1的整数，c为实数，f(x^i)=c(f(x))^i，则f是线性的
11.2 若n为>1的整数，P(x)为n次多项式，f(P(x))=P(f(x))，则f是线性的
同10，对x+q展开得各项系数相等

12.1 若f(sinx)=sinf(x)，则f是线性的
12.2 若f(e^x)=e^f(x)，则f是线性的
利用结论3，sinf(x)有界从而f(y)在[-1,1]上有界，同理，f(y)在(0,无穷)上为正。

13. 若f(1/x)=1/f(x)（x≠0），则f是线性的
1/(f(x^2)-f(x))=f(1/(x^2-x)=f(1/(x-1))-f(1/x)=1/(f(x)-1)-1/f(x)=1/(f^2(x)-f(x))
从而f(x^2)=f^2(x)