14. f(tanx)=tanf(x)(x≠kπ+π/2)，则f是线性的
f(tan(x+y))=tan(f(x)+f(y))，两边展开并令z=tanx,w=tany得
f((z+w)/(1-zw))=f(z+w)/(1-f(z)f(w))
令w=q/z，其中q≠1是有理数，则
要么存在q使得f(z+q/z)≠0 从而f(1/z)=1/f(z)
要么f(z+q/z)一直等于0从而f(z)=f(1/z)=0。
分情况讨论并运用结论13的证明可得f(x^2)取值不稠密，由结论3知f是线性的

说了不少结论，也提些问题
问题1：如果g是一个非线性连续函数，且f(g(x))=g(f(x))，是否f必为线性的？
问题2：如果g是可测函数且不几乎处处等于某个线性函数，且f(g(x))=g(f(x))，是否f必为线性的？

继续讨论一下简单的连续函数：
15. 如果|f(xy)|=|f(x)f(y)|，则f是线性的

先说几个事实
事实1：任何线性空间都有一组基
事实2：若V是域F上的线性空间，X∪Y=V，则span(X)=V或span(Y)=V
事实1用Zorn引理直接证，事实2：若y不属于span(X)，则对任意x∈X，y-x不属于X从而属于Y，从而X包含于span(Y)。

证明一下结论15：这里将R看作Q上的线性空间，对任意实数x，X0={y| f(xy)=f(x)f(y)}，X1={y| f(xy)=-f(x)f(y)}
利用事实2以及Xi=span(Xi)（i=0，1）知X0=R或X1=R。
令Y0={x|对任意y，f(xy)=f(x)f(y)}，Y1={x|对任意y，f(xy)=-f(x)f(y)}。
再用事实2以及Yi=span(Yi)知Y0=R或Y1=R。从而f(xy)=f(x)f(y)恒成立或f(xy)=-f(x)f(y)恒成立。从而f(x^2)恒正或恒负，利用结论3知f是线性的

16. 如果|f(x^2)|=(f(x))^2，则f是线性的
经过一系列......计算可得|f(xy)|=|f(x)f(y)|，由结论5知f是线性的。
PS：用结论10的方法可将上面的2推广到n>1。

17. 若f(|lnx|)=ln|f(x)|（x≠0），则f是线性的
ln|f(xy)|=f(ln|x|+ln|y|)=ln|f(x)|+ln|f(y)|=ln|f(x)f(y)|

18. 若f和某个凹（或凸）函数g可交换，则f是线性的
证明：以g(tx+(1-t)y)<tg(x)+(1-t)g(y)为例（0<t<1，x<y）。
易见2g(0)≤g(x)+g(-x)，从而
2g(0)≤g(f(y))+g(f(-y))=f(g(y)+g(-y))
易知{g(y)+g(-y)|y∈R}是一个区间，由结论3或4可得。

再换个角度
19. 若f限制在某个L-正测集上连续（注2），则f是线性的
注2：g限制在集合X上连续和g在X上连续不同，如g在有理数上为0无理数上为1，则g限制在无理数上连续，但g在无理数上不连续
PS：向吧主看齐，证明略。

21. 若f限制在O\A上连续，其中O是非空开集、A是第一纲集（注3），则f是线性的
注3：也可将O\A换成在O上稠密的G_delta集。更多关于O\A的性质可搜索comeager集或具有Baire性质的集合。

竟然给精了又有动力了

22. 若g在某个区间I上可导，X为g的导函数连续点构成的集合，X=A1∪A2∪...∪An，且f限制在Ai上连续（i≤n），则f是线性的

23. 若E为Lebesgue正测集，F={x∈E| (x-1/n,x+1/n)∩E具有正的Lebesgue测度}，F=A1∪A2∪...∪An，且f限制在Ai上连续（i≤n），则f是线性的

24. C为Cantor集，C=A1∪A2∪...∪An，且f限制在Ai上连续（i≤n），则f是线性的