9. 如果存在某个可测函数g使得对任意x，f(x)<g(x)，则f是线性的
容易找到一个正测集X，f在X上有上界，从而在X+X上有上界，而X+X包含一个开区间。

换个角度
10. 若存在某个整数n>1使得f(x^n)=(f(x))^n，则f是线性的
证明：若n为偶数，则x>0时，f(x)=f(x^1/n)^n≥0，由结论3知。
若n为奇数，任取实数x、有理数q，f((x+q)^n)=(f(x+q))^n，两边分别展开得
∑ C(n,i)f(x^(n-i))q^i=∑ C(n,i)(f(x))^(n-i)(f(1))^iq^i
将之看作q的方程有无穷个解从而各项系数相等，从而f(x^2)=(f(1))^(n-2)(f(x))^2。
利用n为偶时的结论并讨论f(1)的值知f的解为f(x)=kx，其中k为-1或0或1。
PS：上述来自博士数学论坛

推论一下
11.1 若n为>1的整数，c为实数，f(x^i)=c(f(x))^i，则f是线性的
11.2 若n为>1的整数，P(x)为n次多项式，f(P(x))=P(f(x))，则f是线性的
同10，对x+q展开得各项系数相等

12.1 若f(sinx)=sinf(x)，则f是线性的
12.2 若f(e^x)=e^f(x)，则f是线性的
利用结论3，sinf(x)有界从而f(y)在[-1,1]上有界，同理，f(y)在(0,无穷)上为正。

13. 若f(1/x)=1/f(x)（x≠0），则f是线性的
1/(f(x^2)-f(x))=f(1/(x^2-x)=f(1/(x-1))-f(1/x)=1/(f(x)-1)-1/f(x)=1/(f^2(x)-f(x))
从而f(x^2)=f^2(x)

14. f(tanx)=tanf(x)(x≠kπ+π/2)，则f是线性的
f(tan(x+y))=tan(f(x)+f(y))，两边展开并令z=tanx,w=tany得
f((z+w)/(1-zw))=f(z+w)/(1-f(z)f(w))
令w=q/z，其中q≠1是有理数，则
要么存在q使得f(z+q/z)≠0 从而f(1/z)=1/f(z)
要么f(z+q/z)一直等于0从而f(z)=f(1/z)=0。
分情况讨论并运用结论13的证明可得f(x^2)取值不稠密，由结论3知f是线性的

说了不少结论，也提些问题
问题1：如果g是一个非线性连续函数，且f(g(x))=g(f(x))，是否f必为线性的？
问题2：如果g是可测函数且不几乎处处等于某个线性函数，且f(g(x))=g(f(x))，是否f必为线性的？

继续讨论一下简单的连续函数：
15. 如果|f(xy)|=|f(x)f(y)|，则f是线性的

先说几个事实
事实1：任何线性空间都有一组基
事实2：若V是域F上的线性空间，X∪Y=V，则span(X)=V或span(Y)=V
事实1用Zorn引理直接证，事实2：若y不属于span(X)，则对任意x∈X，y-x不属于X从而属于Y，从而X包含于span(Y)。

证明一下结论15：这里将R看作Q上的线性空间，对任意实数x，X0={y| f(xy)=f(x)f(y)}，X1={y| f(xy)=-f(x)f(y)}
利用事实2以及Xi=span(Xi)（i=0，1）知X0=R或X1=R。
令Y0={x|对任意y，f(xy)=f(x)f(y)}，Y1={x|对任意y，f(xy)=-f(x)f(y)}。
再用事实2以及Yi=span(Yi)知Y0=R或Y1=R。从而f(xy)=f(x)f(y)恒成立或f(xy)=-f(x)f(y)恒成立。从而f(x^2)恒正或恒负，利用结论3知f是线性的

16. 如果|f(x^2)|=(f(x))^2，则f是线性的
经过一系列......计算可得|f(xy)|=|f(x)f(y)|，由结论5知f是线性的。
PS：用结论10的方法可将上面的2推广到n>1。

17. 若f(|lnx|)=ln|f(x)|（x≠0），则f是线性的
ln|f(xy)|=f(ln|x|+ln|y|)=ln|f(x)|+ln|f(y)|=ln|f(x)f(y)|

18. 若f和某个凹（或凸）函数g可交换，则f是线性的
证明：以g(tx+(1-t)y)<tg(x)+(1-t)g(y)为例（0<t<1，x<y）。
易见2g(0)≤g(x)+g(-x)，从而
2g(0)≤g(f(y))+g(f(-y))=f(g(y)+g(-y))
易知{g(y)+g(-y)|y∈R}是一个区间，由结论3或4可得。

再换个角度
19. 若f限制在某个L-正测集上连续（注2），则f是线性的
注2：g限制在集合X上连续和g在X上连续不同，如g在有理数上为0无理数上为1，则g限制在无理数上连续，但g在无理数上不连续
PS：向吧主看齐，证明略。

20. 若f限制在Cantor集上连续，则f是线性的。