已知:10^100+1=K(10^x+1)，K，x∈正整数。试求x的最大值。

x=20

2x|(100-x)

是因为，如果x是大于1的正整数，x^a+1整除x^n+1 当且仅当n是a的奇数倍
⑴ 如果n=(2k-1)a，k≥1，那x^n≡(x^a)^(2k-1)≡(-1)^(2k-1)≡-1(mod x^a+1)，所以x^a+1 整除x^n+1
⑵ 如果n=qa+r，q≥0, 1≤r≤a-1，那x^n≡x^r*(x^a)^q≡x^r*(-1)^q ≡±x^r (mod x^a+1)
假如x^a+1整除x^n+1，那 -1≡±x^r(mod x^a+1)，则x^a+1 整除 x^r-1或x^r+1
但是x≥2时 0<x^r-1 < x^r+1 < x^a+1，不可能成立
⑶如果n=2ka，k≥0，那x^n≡(x^a)^(2k)≡(-1)^(2k)≡1(mod x^a+1)
说明x^a+1 整除 x^n-1
假如x^a+1也整除x^n+1，那x^a+1整除2，当x≥2时不可能成立

所以当正整数x≥2时，使x^a+1整除x^n+1的最大的正整数a，就等于n/p，p是n的最小奇素因子
如果n=1或者2的幂次，就不存在1≤a<n使x^a+1整除x^n+1，因为这时不会有更小的a使n是a的奇数倍

@常乐老周 @蔸蔸白
原题：解方程：已知:10^100+1=K(10^x+1)，K，x∈正整数、K≠1。试求x的最大值。
请问，此题与下面的题是不是一回事：
X为何值时，:10^100+1是10^x+1的倍数？

问题：X为何值时，10¹⁰⁰+1是10^x+1的倍数？
解：10¹⁰⁰+1=（10⁴）²⁵+1=（10⁴+1）[（10⁴）²⁴-（10⁴）²³+……-10⁴+1]，
类似地，10¹⁰⁰+1=（10²⁰）⁵+1=（10²⁰+1）[（10²⁰）⁴-（10²⁰）³+（10²⁰）²-10²⁰+1]。
所以，x=4、20时，10¹⁰⁰+1是10^x+1的倍数。

2x丨(n-x)是10^n+1含有因子10^x+1的充要条件。

方程二
10^99+1=K(10^x+1)
K∈N*，x=？

99=3²×11，有6个解。

当n为奇数时： a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-.+a^2b^(n-3)-ab^(n-2)+b^(n-1)]

一，当n为奇数时：
a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-.+a^2b^(n-3)-ab^(n-2)+b^(n-1)]；
二，设n=pq,当n有奇因子时，比如是q,则a^n+b^n=(a^p)^q+(b^p)^q,这就可以如上所说地分解为两个因式；
三，易知：n有多少个奇因子，(a^p)^q就有多少个，其中p=n/q.
比如：2楼的：已知:10^100+1=K(10^x+1)，K，x∈正整数。试求x的最大值。
解：因为100=2²×5²有两个非1的奇因子5和25，其中5最小，
所以，x的最大值=100/5=20.
又如:11楼的方程二：10^99+1=K(10^x+1)，K∈N*，x=？
解：因为99=3²×11，全都是奇因子，即1，3，9，11，33，99，所以可得如下6个解：
99/1=99、99/3=33、99/9=11、99/11=9、99/33=3、99/99=1.

方程三
10^2024+1=K(10^x+1)
K∈N*，x=？

2024=2³×11×23，有4个解。