如果x=n/b，x，n∈正整数，b是奇数。那么，a^x+1整除a^n+1，a∈正整数，a≥2。

证明
x=n/b，有n=xb
a^n+1=a^(xb)+1
=(a^x)^b+1
a^x≡-1(mod(a^x+1))
(a^x)^b≡(-1)^b(mod(a^x+1))
b是奇数
(-1)^b=-1
∴a^n+1≡-1+1≡0(mod(a^x+1))
∴(a^x+1)丨(a^n+1)
证毕。

结论
x=n/b，x，n∈正整数，b是奇数。是a^x+1整除a^n+1的条件式。

应用举例

例一
(2^428+1)/(2^x+1)=K，K∈Z。x=？

解:
428=2²×107，有两个奇数因数。有两个解:
x₁=428/1=428，
x₂=428/107=4。

试求a^2024+1在Q域内的因式。

a⁸+1的因式应该讨论一下。

用整除条件式和奇次方和公式分解的a^2024+1在Q域内的四对因式:
❶a^2024+1=(a^2024+1)×1
❷a^2024+1=(a^184+1)(a^1840-a^1656+a^1472-a^1288+……-a^184+1)
❸a^2024+1=(a^88+1)(a^1936-a^1848+a^1760-a^1672+……-a^88+1)
❹a^2024+1=(a^8+1)(a^2016-a^2008+a^2000-a^1992+……-a^8+1)

应用之三
(a⁶+1)/(a²+1)=？

(a⁶+1)/(a²+1)=a⁴-a²+1

三位吧主都提到了艾森斯坦判断法。我百度一下，有两种说法:
❶多项式f(x)，除首项外，存在质因数p，且p²不整除末项。那么，f(x)不可约。
❷多项式f(x)，满足以下三个条件:一、除首项外存在质因数p，二、p不整除首项，三、p²不整末项。那么，f(x)不可约。

正整数n/m=b。如果b是奇数，那么(a^n+1)/(a^m+1)=a^((b-1)m)-a((b-2)m)+a^((b-3)m)-a^((b-4)m)+……-a^m+1