在不考虑论外的情况下，先假定N是无限

参考构造：
N：无限大宇宙
N×N：无数个无限大宇宙
N＾N：无限嵌套宇宙
（N＾N）＾2：无限嵌套宇宙的每个底层粒子，对应另一个无限嵌套宇宙
（N＾N）＾N：无限嵌套宇宙每个底层粒子对应另一个无限嵌套宇宙，该过程重复无限次

…（（（N＾N）＾N）…）））））…
用（N＾N）取代（N＾N）＾N中的左数第一个N，获得的再进行替换，再再进行…进行N次

指数塔：
无限嵌套宇宙，从底层开始摘去沙子，每摘一个沙子，另一个宇宙则无限翻倍一次。
沙子摘完后，对“另一个宇宙”进行摘沙，摘完后，按相同规则对“另另个宇宙”进行摘沙
进行无限次

无限层指数塔：将五楼最后那个无限替换为更大。

在汪吧，以上认为为阿列夫0
阿列夫1：全体实数，或：与按照可能性分裂的阿列夫0（无限大宇宙）一样大
阿列夫2：假定连续统假设成立情况下，根据可能性分裂的根据可能性分裂的宇宙。
阿列夫不动点，阿列夫X＝X，
比如：阿列夫阿列夫阿列夫阿列夫…………（省略阿列夫0个阿列夫）1
这就是阿列夫不动点

世界基数。如果一个k满足Vk是ZFC的一个模型，那么k是一个世界基数。我们把最小的世界基数叫做W0。这个W0是如此巨大，前面上一段所有定义的东西，无论如何继续下去，是永远无法达到W0的。因为那些递归的定义都可以用ZFC的替代公理得到，因此那些东西无法盖住整个ZFC，成为一个自然模型。然后下一个世界基数W1是上面用χ递归，加上W0一起也无法到达的。对于WX，用χ递归定义和所有WS(包括一切S<X)都无法到达。如果一个数k满足Wk=k(比k小的世界基数有k个)，这个数叫1-世界基数。如果一个数k满足比k小的s-世界基数有k个，这个数叫(s+1)-世界基数。如果一个数k是k-世界基数，这个数叫超世界基数。

如果一个基数k>χ0，是正则极限基数，那么k叫不可达基数。所谓“正则”是指k不能写成<k个基数<k的集合的并集，而“极限”是指对所有基数a，都有k不是a的下一个基数。

马洛基数的定义是，如果k是马洛基数，那么k是不可达基数，而且<k的不可达基数在k之下形成驻集(和k中所有闭无界子集的交集都非空)

弱紧致基数是特殊的强不可达基数.一个基数K被称为弱紧的，如果K是强不可达的并且满足树性质或划分性质。弱紧性弱于可测性但强于不可达性

这是不可描述基数：一类大基数.指用∏mn(或∑mn)公式的概念和模型论工具所定义的基数.若对任何仅含一个二阶自由变元X(但其中的约束变元不限二阶)的∏mn公式(或∑mn公式)Φ(X)，当有α层结构〈Vα，∈↾Vα，R〉满足Φ(R)时，即〈Vα，∈↾Vα，R〉⊨Φ(R)成立时，存在β<α，使β层子结构也满足Φ(R)，即〈Vβ，∈↾Vβ，R∩Vβ〉⊨Φ(R∩Vβ)，则称基数α为∏mn(或∑mn)不可描述基数.注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替，此处的不可描述性则指，在α层结构中真的公式，必可在α之前的某β层中为真(公式加以适当的限制)。

拉姆齐基数其定理确立了ω具有 R基数推广到不可数情况的特定性质。
令[κ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。一个不可数的基数κ称为 R如果，对于每个函数：
f:[κ]<ω→{0, 1}
有一个基数κ的集合A对于f是齐次的。即对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数。如果A可以选择为κ的平稳子集，则基数κ被称为不可称的R。如果对于每个函数，基数κ实际上称为Rf:[κ]<ω→{0, 1}有C是κ的一个封闭且无界的子集，因此对于 C中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎 R的概念，其中对于每个λ<κ， f的齐次集都需要阶类型λ。这些 R基数中的任何一个的存在都足以证明0#的存在，或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖。

每个可测基数都是R大基数，每个 R大基数都是R大基数介于 R和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想 I使得对于每个A∉ I和对于每个函数f:[κ]<ω→{0, 1}有一个集合B⊂ A不在I中，对于f是齐次的。这比κ是不可称的R更加严格R基数的存在意味着0#的存在，这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误R指的是拉姆齐。可测基数是强拉姆齐基数的上限，它是不可数的κ，因此在κ的幂集上存在加性、非平凡、0-1值测度(κ-additive意味着，对于任何序列Aα，α<λ的基数λ<κ，Aα是<κ的序数的成对不相交集， Aα的并集的度量等于个体Aα的测量值。)κ是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类M的临界点。(这种等价性归功于Jerome Keisler和Dana Scott)并使用了模型理论中的超强构造。由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题。当且仅当κ是具有κ完全非主超滤器的不可数基数时，κ是可测量的基数(这意味着超滤器中任何严格小于κ的集合的交集也在超滤器中)。