如果x=n/b，x，n∈正整数，b是奇数。那么，a^x+1整除a^n+1，a∈正整数，a≥2。

证明
x=n/b，有n=xb
a^n+1=a^(xb)+1
=(a^x)^b+1
a^x≡-1(mod(a^x+1))
(a^x)^b≡(-1)^b(mod(a^x+1))
b是奇数
(-1)^b=-1
∴a^n+1≡-1+1≡0(mod(a^x+1))
∴(a^x+1)丨(a^n+1)
证毕。

结论
x=n/b，x，n∈正整数，b是奇数。是a^x+1整除a^n+1的条件式。

应用举例

例一
(2^428+1)/(2^x+1)=K，K∈Z。x=？

解:
428=2²×107，有两个奇数因数。有两个解:
x₁=428/1=428，
x₂=428/107=4。

试求a^2024+1在Q域内的因式。

2024=2³×11×23
b=1，11，23，253
x=2024，184，88，8

a^2024+1 = (a^4048-1) / (a^2024-1)
aⁿ-1 = ∏φ_d(a), φ_d(a)是d次分圆多项式，连乘号d取n的所有(正)因数
4048的因数中不是2024因数的只有16, 176, 368, 4048
所以a^2024+1 = φ_16(a)×φ_176(a)×φ_368(a)×φ _4048(a)
其中
φ_16(a) = φ_2(a^8) = a^8+1
φ_176(a) = φ_22(a^8) = -φ_11(-a^8) = a^80 - a^72 + a^64 - a^56 +…-a^8 + 1
φ_368(a) = φ_46(a^8) = -φ_23(-a^8) = a^176 - a^168 + a^160 - a^152 + … - a^8 + 1
φ_4048(a) = φ_506(a^8) = -φ_253(-a^8)
φ_253(x)比较长，应该等于φ_11(x^23) / φ_11(x)

a⁸+1的因式应该讨论一下。

按照结论，所有分圆多项式都是本原多项式，并且在Q上不可约
也就是说a^8+1 没有更低次数的因式
但这个结论我不会证

楼上的林妹妹去看一下艾森斯坦不可约判别的证明
它用到了一个高斯引理
这个引理就说了你不会证明的东西。

用整除条件式和奇次方和公式分解的a^2024+1在Q域内的四对因式:
❶a^2024+1=(a^2024+1)×1
❷a^2024+1=(a^184+1)(a^1840-a^1656+a^1472-a^1288+……-a^184+1)
❸a^2024+1=(a^88+1)(a^1936-a^1848+a^1760-a^1672+……-a^88+1)
❹a^2024+1=(a^8+1)(a^2016-a^2008+a^2000-a^1992+……-a^8+1)

应用之三
(a⁶+1)/(a²+1)=？